Um fabricante deseja construir uma lata sem tampa no formato de um cilindro circular reto de forma que o volume seja igual a
, com o menor gasto de material possivel. Considerando que não há perdas nos recortes para obter a base e as laterais, encontre as dimensões dessa lata.
Passo 1
A gente quer projetar uma lata aberta (sem tampa) no formato de cilindro reto com volume igual a
, usando a menor quantidade de material possível. O conteúdo é de otimização de função, em que vamos usar derivadas para minimizar a área da superfície do cilindro sujeito à restrição de volume.
Passo 2
Vamos chamar o raio da base de
e a altura de
. A restrição de volume é dada por
. Isolando
, temos:
Passo 3
A área total de material (sem tampa) é a soma da área da base com a área lateral. Então
Passo 4
Substituindo
em
, obtemos uma função de
só:
Passo 5
Para achar o mínimo, calculamos a derivada
e igualamos a zero:
Passo 6
Resolvendo
Passo 7
Como
, substituindo o
encontrado:
Passo 8
Vale a pena checar que
em
, garantindo que é mínimo.
Resposta
O raio e a altura que minimizam o material são ambos iguais a
.