Um fabricante deseja construir uma lata sem tampa no formato de um cilindro circular reto de forma que o volume seja igual a 12 pi, com o menor gasto de material possivel. Considerando que não há perdas nos recortes para obter a base e as laterais, encontre as dimensões dessa lata.

Passo 1

A gente quer projetar uma lata aberta (sem tampa) no formato de cilindro reto com volume igual a 12pi, usando a menor quantidade de material possível. O conteúdo é de otimização de função, em que vamos usar derivadas para minimizar a área da superfície do cilindro sujeito à restrição de volume.

Passo 2

Vamos chamar o raio da base de r e a altura de h. A restrição de volume é dada por V=pi r^2h=12pi. Isolando h, temos:
h=12pipi r^2=12r^2

Passo 3

A área total de material (sem tampa) é a soma da área da base com a área lateral. Então
A(r)=pi r^2+2pi r h

Passo 4

Substituindo h=12/r^2 em A(r), obtemos uma função de r só:
A(r)=pi r^2+2pi rcdot12r^2=pi r^2+24pir

Passo 5

Para achar o mínimo, calculamos a derivada A'(r) e igualamos a zero:
A'(r)=2pi r-24pi,r^-2=0

Passo 6

Resolvendo
2pi r=24pi,r^-2implies2r^3=24implies r^3=12implies r=raiz[3]12

Passo 7

Como h=12/r^2, substituindo o r encontrado:
h=12(raiz[3]12)^2=raiz[3]12

Passo 8

Vale a pena checar que A''(r)>0 em r=raiz[3]12, garantindo que é mínimo.

Resposta

O raio e a altura que minimizam o material são ambos iguais a raiz[3]12.

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