Derive as funções a seguir:
g(x)=x cdot cos (x)x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função
g(x)=xcdotcos(x)x^2+1
Aqui vamos usar a regra do quociente e, no numerador, a regra do produto para u(x)=xcdotcos(x) e v(x)=x^2+1.

Passo 2

Definimos
u(x)=xcdotcos(x), v(x)=x^2+1
Aplicando a regra do produto em u e a derivada de potência em v, temos
u'(x)=cos(x)-x,sin(x), v'(x)=2x

Passo 3

Pela regra do quociente,
g'(x) =u'(x),v(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =l(cos(x)-xsin(x)r),(x^2+1)-xcos(x)cdot2x(x^2+1)^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador:
&(cos(x)-xsin(x))(x^2+1)-2x^2cos(x) &;=x^2cos(x)+cos(x)-x^3sin(x)-xsin(x)-2x^2cos(x) &;=(x^2cos(x)-2x^2cos(x))+cos(x)-x^3sin(x)-xsin(x) &;=-x^2cos(x)+cos(x)-x(x^2+1)sin(x) &;=(1-x^2)cos(x)-x(x^2+1)sin(x)
Logo
g'(x) =(1-x^2)cos(x)-x(x^2+1)sin(x)(x^2+1)^2

Resposta

g'(x) =(1-x^2)cos(x)-x(x^2+1)sin(x)(x^2+1)^2

Exercícios relacionados