(2 points) A profundidade de perfuração de um poço de petróleo é dada por:
P(t)=raizt^2+100
Use diferenciais para estimar a variação da profundidade De<a P quando t varia de 10 para 10,1.

Passo 1

O enunciado dá a profundidade
P(t)=raizt^2+100
e pede a variação aproximada De<a P quando t passa de 10 para 10,1. O conteúdo necessário é o conceito de derivada e diferencial: usamos
dP = P'(t),dt
para estimar De<a P.

Passo 2

Calculamos P'(t) usando a regra da cadeia para raiz quadrada. Se P(t)=raizu com u=t^2+100, então
P'(t) = u'2raizu = 2t2raizt^2+100 = traizt^2+100

Passo 3

A diferencial é
dP = P'(t),dt = traizt^2+100,dt
Aqui t=10 e dt = 10,1 - 10 = 0,1. Logo
dP = 10raiz10^2+100cdot 0,1 = 10raiz200cdot 0,1

Passo 4

Note que raiz200=10raiz2, então
P'(10)=1010raiz2=1raiz2 e dP = 0,1raiz2approx 0,07071

Resposta

A variação aproximada da profundidade é De<a Papprox 0,0707.

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