Derive as funções a seguir:
(g) y=5^-1 / x Resp: y^prime=5^-1 / x ln 5x^2

Passo 1

O exercício pede para derivar a função exponencial com base 5 e expoente que depende de x: y=5^-1/x. Vamos usar a regra da cadeia e a fórmula da derivada de a^u.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a função em termos da exponencial natural para facilitar a derivação. Como 5^u = e^uln 5, temos:
y = 5^-1/x = e^(-1/x)ln 5

Passo 3

Em seguida, identificamos o expoente como função interna u(x) = (-1/x)ln 5. Precisamos da derivada u'(x).
Como u(x) = -ln 5 cdot x^-1, então
u'(x) = -ln 5 cdot (-1)x^-2 = ln 5x^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para y = e^u(x). A derivada é y' = e^u(x) cdot u'(x). Substituindo de volta:
y' = e^(-1/x)ln 5 cdot ln 5x^2

Passo 5

Por fim, voltamos à base 5 usando e^(-1/x)ln 5 = 5^-1/x. Assim obtemos:
y' = 5^-1/x cdot ln 5x^2

Resposta

y' = 5^-1/x,ln 5x^2

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