Usando a regra de L(d) lim x +infty ln (x^2+1)raizx Resp: 0

Passo 1

O problema pede o cálculo do limite
limxto+inftylnl(x^2+1r)raizx
usando a regra de L’Hospital. O conteúdo é limites do tipo indeterminado tfracinftyinfty e vamos precisar aplicar a derivação de numerador e denominador conforme essa regra.

Passo 2

Primeiro, verificamos que, à medida que xto+infty,
ln(x^2+1)toinfty e raizxtoinfty,
logo temos a forma indeterminada tfracinftyinfty.
Pela regra de L’Hospital, podemos calcular
limxto+inftyln(x^2+1)raizx= limxto+inftydfracddxl[ln(x^2+1)r]dfracddxl[raizxr]

Passo 3

Agora derivamos o numerador e o denominador:
Numerador:
ddxl[ln(x^2+1)r]=2xx^2+1
Denominador:
ddxl[raizxr]=12raizx

Passo 4

Substituindo na expressão do limite e simplificando, obtemos:
dfrac2xx^2+1dfrac12raizx =2xx^2+1cdot2raizx =4xraizxx^2+1
Para xto+infty, o termo dominante no numerador é 4x^3/2 e no denominador é x^2, de modo que
4xraizxx^2+1sim4x^3/2x^2=4x^-1/2=4raizxto0

Resposta

0

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