Derive as funções a seguir
f(x)=\cot ^{-1} x

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • O enunciado pede para derivar a função f(x)=\cot^{-1}x, ou seja, encontrar f'(x).
  • Informação dada: a função é a arco-cotangente de x. Não foi especificado o ramo, portanto usarei a definição usual de cálculo em que y=\cot^{-1}x é o valor de \cot^{-1} que satisfaz \cot y=x (geralmente com y\in(0,\pi)).
  • Objetivo claro: obter uma fórmula explícita para a derivada f'(x) válida para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Escolha do método (e por quê):
  • Vou usar diferenciação implícita, que é direta e elementar aqui: se y=\cot^{-1}x então \cot y=x; diferenciando essa igualdade em relação a x dá uma equação para y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • Rápida justificativa do método: diferenciação implícita aplica a regra da cadeia e a derivada conhecida de \cot, mantendo tudo em termos de y e depois voltando para x usando \cot y=x. É o método mais simples e confiável neste caso.

Passo 3

Definição e aplicação da diferenciação implícita:
  • Começo definindo a variável auxiliar:
y=\cot^{-1}x.
  • Pela definição de função inversa, isso equivale a
\cot y = x.
  • Agora diferencio ambos os lados em relação a x. Lembrete rápido (regra da cadeia): se uma função é composta u(x)=\cot(y(x)), então
\frac{d}{dx}\cot(y(x)) = \left(\frac{d}{du}\cot u\Big|_{u=y(x)}\right)\cdot\frac{dy}{dx}.
  • Sabendo que \dfrac{d}{du}\cot u = -\csc^2 u, aplico isso à esquerda:
\frac{d}{dx}\big(\cot y\big) = -\csc^2 y\cdot\frac{dy}{dx}.
  • A derivada do lado direito \dfrac{d}{dx}x é 1. Portanto a diferenciação de \cot y = x produz:
-\csc^2 y\cdot\frac{dy}{dx} = 1.

Passo 4

Isolando \dfrac{dy}{dx} e transformando para x:
  • Resolvo para \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\csc^2 y}.
  • Uso a identidade trigonométrica que vem de \sin^2 y+\cos^2 y=1. Dividindo por \sin^2 y obtemos
1+\cot^2 y = \csc^2 y.
  • Como da definição inicial temos \cot y = x, então
\csc^2 y = 1+\cot^2 y = 1+x^2.
  • Substituindo na expressão de \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{1+x^2}.

Passo 5

Interpretação final, domínio e dica prática:
  • Concluímos que a derivada de f(x)=\cot^{-1}x é
f'(x) = -\frac{1}{1+x^2},
válida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Dica para a prova: uma forma alternativa de ver (e checar) é usar a identidade \cot^{-1}x=\dfrac{\pi}{2}-\tan^{-1}x (para os ramos padrão). Como \dfrac{d}{dx}\tan^{-1}x=\dfrac{1}{1+x^2}, isso dá o mesmo resultado f'(x)=-\dfrac{1}{1+x^2}.
  • Exemplo rápido para fixar: em x=0 tem-se f'(0)=-1. Respira fundo — ficou simples depois de seguir os passos!

Resposta

\displaystyle f'(x)=-\frac{1}{1+x^2}

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