Derive as funções a seguir:
© y=e^x1-e^x Resp: y^prime=e^x(1-e^x)^2

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função y=e^x1-e^x. O conteúdo principal aqui é a regra do quociente e a derivada de e^x.

Passo 2

Identificamos as partes da regra do quociente: f(x)=e^x e g(x)=1-e^x. Calculamos as derivadas de cada parte:
  • Derivada do numerador: f'(x)=ddx(e^x)=e^x.
  • Derivada do denominador: g'(x)=ddx(1-e^x)=-e^x.

Passo 3

Aplicamos a regra do quociente:
y' = f'(x),g(x) - f(x),g'(x)[g(x)]^2
Substituindo f,f',g,g':
y' = e^x(1-e^x) - e^x(-e^x)(1-e^x)^2

Passo 4

Simplificando o numerador:
e^x(1-e^x) + e^2x = e^x - e^2x + e^2x = e^x
Logo,
y' = e^x(1-e^x)^2

Resposta

y'=e^x(1-e^x)^2

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