Determine as derivadas das funções dadas a seguir.
f(x)=\left(\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{x^{4}}\right)\left(x+5 x^{3}\right);

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\Bigl(\frac{1}{x^{2}}-\frac{3}{x^{4}}\Bigr)\,(x+5x^{3}).
O conteúdo envolvido é a regra do produto e a regra de potência. Para simplificar a derivação, vamos primeiro reescrever tudo em potências de x e expandir o produto.

Passo 2

Reescrevendo em potências de x:
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2}, \quad \frac{3}{x^{4}} = 3x^{-4},
então
f(x) = (x^{-2}-3x^{-4})(x+5x^{3}).
Agora expandimos termo a termo:
x^{-2}\cdot x = x^{-1}, \quad x^{-2}\cdot5x^{3} = 5x^{1},
-3x^{-4}\cdot x = -3x^{-3}, \quad -3x^{-4}\cdot5x^{3} = -15x^{-1}.
Somando tudo:
f(x) = 5x + (1 - 15)x^{-1} - 3x^{-3} = 5x -14x^{-1} -3x^{-3}.

Passo 3

Agora derivamos termo a termo usando a regra de potência \frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}:
\frac{d}{dx}(5x)=5, \quad \frac{d}{dx}(-14x^{-1}) = -14\cdot(-1)x^{-2}=14x^{-2},
\frac{d}{dx}(-3x^{-3}) = -3\cdot(-3)x^{-4}=9x^{-4}.

Passo 4

Somando as derivadas de cada termo, obtemos
f'(x)=5 + 14x^{-2} + 9x^{-4}.
Em forma de frações:
f'(x)=5 + \frac{14}{x^{2}} + \frac{9}{x^{4}}.

Resposta

f'(x)=5 + \frac{14}{x^{2}} + \frac{9}{x^{4}}.

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