Derive as funções utilizando as regras de derivação:
f(x)=ln (x^2)sen^2(x)

Passo 1

Nesse exercício temos a função f(x)=ln(x^2)sin^2(x). O conteúdo é derivação de quociente envolvendo funções compostas, então vamos precisar das regras do quociente, da cadeia, da derivada de ln(u) e da derivada de sin(x).

Passo 2

Definimos as partes do quociente: u(x)=ln(x^2) e v(x)=sin^2(x). A regra do quociente diz que
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2

Passo 3

Para calcular u'(x), aplicamos a regra da cadeia em u(x)=ln(x^2). Se t=x^2, então dln(t)/dt=1/t e dt/dx=2x. Logo
u'(x)=1x^2cdot2x=2x

Passo 4

Para calcular v'(x), note que v(x)=sin^2(x) também é composta. Usamos d[sin(w)]/dw=cos(w) e a cadeia:
v'(x)=2sin(x)cdotcos(x)=sin(2x)

Passo 5

Substituindo na regra do quociente:
f'(x)=2xsin^2(x)-ln(x^2)cdot2sin(x)cos(x)sin^4(x)
Agora basta simplificar cada termo dividindo por sin^4(x).

Passo 6

Simplificando obtemos
f'(x)=2xsin^2(x)-2ln(x^2)cos(x)sin^3(x)

Resposta

f'(x)=2xsin^2(x)-2ln(x^2)cos(x)sin^3(x).

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