Derive as funções utilizando as regras de derivação:
f(x)=raiz[4]x^3+9

Passo 1

O enunciado pede pra derivar a função f(x)=raiz[4]x^3+9. O conteúdo envolve derivação de uma potência com índice fracionário e aplicação da regra da cadeia, pois dentro da raiz temos x^3+9.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos a raiz de quarto grau como uma potência: f(x)=(x^3+9)^1/4. Isso facilita usar a fórmula de derivada de u(x)^n.
Em seguida, identificamos as duas partes para aplicar a regra da cadeia: u(x)=x^3+9 e o expoente n=1/4. Precisamos também da derivada de u(x):

Passo 3

Calculamos u'(x):
u(x)=x^3+9
u'(x)=3x^2

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia para f(x)=(u(x))^1/4:
f'(x)=14l(u(x)r)^1/4-1cdot u'(x)
Substituindo u(x) e u'(x) na expressão:
f'(x)=14(x^3+9)^-3/4cdot 3x^2

Resposta

f'(x)=3x^24,(x^3+9)^3/4

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