Derive as funções utilizando as regras de derivação:
f(x)=x^33 raiz[3]x^2+3 x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de
f(x)=x^33raiz[3]x^2+3x
O conteúdo envolve regras de derivação: regra do produto, regra da cadeia e potência. Vamos usar também manipulação algébrica para simplificar.

Passo 2

Primeiro escrevemos f(x) em forma de produto de funções mais simples:
f(x)=13x^3(x^2+3x)^-tfrac13
Desta forma, identificamos:
$$u(x)=\tfrac{1}{3}x^{3},\qquad v(x)=(x{2}+3x){-\tfrac{1}{3}}.
$$

Passo 3

Aplicamos a regra do produto:
$$f’(x)=u’(x)v(x)+u(x)v’(x).
f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) u’(x)=\tfrac{1}{3}\cdot 3x{2}=x{2},$$
u'(x)=tfrac13cdot 3x^2=x^2,

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x)=x^2(x^2+3x)^-tfrac13+13x^3l[-tfrac13(2x+3)(x^2+3x)^-tfrac43r]
Para somar, colocamos um denominador comum 9(x^2+3x)^4/3 e fatoramos:
f'(x)=9x^2(x^2+3x)-x^3(2x+3)9(x^2+3x)^4/3

Passo 5

No numerador, desenvolvemos:
9x^2(x^2+3x)-x^3(2x+3)=9x^4+27x^3-2x^4-3x^3=7x^4+24x^3=x^3(7x+24)
Portanto:

Passo 6

final_answer

Passo 7

f’(x)=\displaystyle \frac{x{3}(7x+24)}{9,(x{2}+3x)^{4/3}}

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