Nas funções a seguir, ache os extremos relativos de f pelo teste da derivada primeira; determine os intervalos onde f é crescente e onde é decrescente:
f(x)=-2 x^2+12 x+7

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos os extremos relativos de f(x)=-2x^2+12x+7 usando o teste da derivada primeira e determinar os intervalos de crescimento e decrescimento. Essa é uma questão de derivadas e monotonicidade, então a gente vai precisar calcular a derivada de f e estudar onde ela é positiva ou negativa.

Passo 2

Primeiro, a gente calcula a derivada de f(x). Como a derivada de x^n é nx^n-1, temos
f'(x)=ddx(-2x^2)+ddx(12x)+ddx(7)=-4x+12

Passo 3

Depois, identificamos pontos críticos fazendo f'(x)=0. Resolvendo
-4x+12=0
vem
x=3
Esse é o único ponto onde a derivada some, então é candidato a extremo.

Passo 4

Agora a gente faz o teste da derivada primeira, analisando o sinal de f'(x) antes e depois de x=3. Se x<3, digamos x=0, temos f'(0)=-4cdot0+12=12>0, então f cresce em ((-
infty,3)). Se x>3, por exemplo x=4, dá f'(4)=-4cdot4+12=-4<0, então f decresce em (3,infty).

Passo 5

Como a derivada passa de positiva para negativa em x=3, concluímos que f tem um máximo relativo nesse ponto. Para achar o valor, calculamos
f(3)=-2cdot3^2+12cdot3+7=-18+36+7=25

Resposta

Função tem máximo relativo em x=3, com valor f(3)=25. A função é crescente no intervalo ((-
infty,3)) e decrescente em (3,infty).

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