Derive as funções:
y=\left(x{2}+1\right)\left(x{3}-2 x\right)

Passo 1

O enunciado dá a função \;y=(x^{2}+1)(x^{3}-2x)\; e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar \;y'=\dfrac{dy}{dx}\;. As informações relevantes são:
  • A função é o produto de duas expressões em x: \;u(x)=x^{2}+1\; e \;v(x)=x^{3}-2x\;.
  • Não há outras restrições nem parâmetros.
    Pronto — agora sabemos exatamente o que pediram: calcular a derivada de \;y\;.

Passo 2

Vamos organizar a ideia: defino
u(x)=x^{2}+1,\qquad v(x)=x^{3}-2x,
logo \;y(x)=u(x)\,v(x).\n
A derivada que queremos é \;y'=\dfrac{dy}{dx}. Antes de aplicar qualquer regra, convém lembrar duas coisas básicas que usaremos:
  • O operador derivada \dfrac{d}{dx} indica a taxa de variação em relação a \;x.
  • Se tivermos uma função produto y=uv, existe uma fórmula (regra do produto) para derivar — vamos ver e usar agora.

Passo 3

A regra do produto diz:
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Explicando com calma: para derivar um produto, derivamos a primeira função mantendo a segunda e somamos o produto da primeira função pelo derivado da segunda. Aqui u'(x) significa \dfrac{du}{dx} e v'(x) significa \dfrac{dv}{dx}.

Passo 4

Precisamos então de u'(x). Aplicamos a regra de potência: para \;x^{n}\;, tem-se \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}. Também lembramos que a derivada de uma constante é zero. Assim,
u(x)=x^{2}+1 \implies u'(x)=\frac{d}{dx}(x^{2})+\frac{d}{dx}(1)=2x+0=2x.
Aqui expliquei cada termo: \dfrac{d}{dx}(x^{2})=2x (pelo expoente 2) e \dfrac{d}{dx}(1)=0.

Passo 5

Agora v'(x). Usamos a mesma regra de potência termo a termo:
v(x)=x^{3}-2x \implies v'(x)=\frac{d}{dx}(x^{3})-\frac{d}{dx}(2x)=3x^{2}-2.
Detalhes: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2} e \dfrac{d}{dx}(2x)=2 (porque 2x é 2\cdot x^{1}, derivada é 2\cdot 1\cdot x^{0}=2).

Passo 6

Agora aplico a regra do produto com os resultados:
y'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u'(x)=2x, v(x)=x^{3}-2x, u(x)=x^{2}+1 e v'(x)=3x^{2}-2, obtemos
y'(x)=2x\,(x^{3}-2x)+(x^{2}+1)\,(3x^{2}-2).

Passo 7

Vamos expandir cada produto passo a passo (sem pular contas). Primeiro o produto 2x\,(x^{3}-2x):
2x\cdot x^{3}=2x^{4},\qquad 2x\cdot(-2x)=-4x^{2},
logo
2x\,(x^{3}-2x)=2x^{4}-4x^{2}.

Passo 8

Agora expandimos (x^{2}+1)(3x^{2}-2) termo a termo:
x^{2}\cdot 3x^{2}=3x^{4},\qquad x^{2}\cdot(-2)=-2x^{2},
1\cdot 3x^{2}=3x^{2},\qquad 1\cdot(-2)=-2.
Somando esses quatro termos:
(x^{2}+1)(3x^{2}-2)=3x^{4}-2x^{2}+3x^{2}-2=3x^{4}+(-2x^{2}+3x^{2})-2=3x^{4}+x^{2}-2.

Passo 9

Agora juntamos o resultado do Passo 7 com o do Passo 8:
y'(x)=(2x^{4}-4x^{2})+(3x^{4}+x^{2}-2).
Agrupando termos semelhantes (mesmo grau em x):
\begin{aligned} \text{termos }x^{4}:&\quad 2x^{4}+3x^{4}=5x^{4},\\\ \text{termos }x^{2}:&\quad -4x^{2}+x^{2}=-3x^{2},\\\ \text{termos constantes:}&\quad -2. \end{aligned}
Portanto
y'(x)=5x^{4}-3x^{2}-2.

Passo 10

Verificação alternativa (útil na prova): poderíamos primeiro multiplicar as duas expressões e depois derivar. Fazendo isso rapidamente:
y=(x^{2}+1)(x^{3}-2x)=x^{5}-2x^{3}+x^{3}-2x=x^{5}-x^{3}-2x.
Derivando termo a termo:
\frac{d}{dx}(x^{5})=5x^{4},\quad \frac{d}{dx}(-x^{3})=-3x^{2},\quad \frac{d}{dx}(-2x)=-2,
o que dá novamente
y'(x)=5x^{4}-3x^{2}-2,
confirmando que nossa conta anterior está correta.

Resposta

5x^{4}-3x^{2}-2

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