Derive as funções:
y=\left(x{2}+1\right)\left(x{3}-2 x\right)
y=\left(x{2}+1\right)\left(x{3}-2 x\right)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar
. As informações relevantes são:
- A função é o produto de duas expressões em
: e . - Não há outras restrições nem parâmetros.
Pronto — agora sabemos exatamente o que pediram: calcular a derivada de.
Passo 2
Vamos organizar a ideia: defino
logo
.\n
A derivada que queremos é . Antes de aplicar qualquer regra, convém lembrar duas coisas básicas que usaremos:
A derivada que queremos é
- O operador derivada
indica a taxa de variação em relação a . - Se tivermos uma função produto
, existe uma fórmula (regra do produto) para derivar — vamos ver e usar agora.
Passo 3
A regra do produto diz:
Explicando com calma: para derivar um produto, derivamos a primeira função mantendo a segunda e somamos o produto da primeira função pelo derivado da segunda. Aqui
significa
e
significa
.
Passo 4
Precisamos então de
. Aplicamos a regra de potência: para
, tem-se
. Também lembramos que a derivada de uma constante é zero. Assim,
Aqui expliquei cada termo:
(pelo expoente
) e
.
Passo 5
Agora
. Usamos a mesma regra de potência termo a termo:
Detalhes:
e
(porque
é
, derivada é
).
Passo 6
Agora aplico a regra do produto com os resultados:
Substituindo
,
,
e
, obtemos
Passo 7
Vamos expandir cada produto passo a passo (sem pular contas). Primeiro o produto
:
logo
Passo 8
Agora expandimos
termo a termo:
Somando esses quatro termos:
Passo 9
Agora juntamos o resultado do Passo 7 com o do Passo 8:
Agrupando termos semelhantes (mesmo grau em
):
Portanto
Passo 10
Verificação alternativa (útil na prova): poderíamos primeiro multiplicar as duas expressões e depois derivar. Fazendo isso rapidamente:
Derivando termo a termo:
o que dá novamente
confirmando que nossa conta anterior está correta.