( 1 ponto) Calcule a derivada de f(x)=3 x^{2}-2 x+5 usando a definição por limite.

Passo 1

O enunciado pede: calcular a derivada da função \;f(x)=3x^{2}-2x+5\; usando a definição por limite.
Informações dadas: a função \;f(x)=3x^{2}-2x+5\;.
Pedido: encontrar \;f'(x)\; (a derivada) aplicando a definição por limite.

Passo 2

Apresento a definição por limite da derivada — isso é o que vamos aplicar passo a passo. A derivada de uma função em \;x\; é
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Explicando com calma: h é um pequeno incremento em x. A expressão dentro do limite é a razão entre a variação da função e a variação de x — ou seja, a “inclinação média” em um intervalo pequeno; ao fazer h\to 0 obtemos a inclinação instantânea.

Passo 3

Calculemos primeiro f(x+h). Substituímos x por x+h em \;f:
f(x+h)=3(x+h)^{2}-2(x+h)+5.
Agora expandimos (x+h)^{2}:
(x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}.
Substituindo na expressão:
f(x+h)=3(x^{2}+2xh+h^{2})-2x-2h+5.
Distribuindo o 3:
f(x+h)=3x^{2}+6xh+3h^{2}-2x-2h+5.

Passo 4

Agora calculamos a diferença f(x+h)-f(x). Lembrando que f(x)=3x^{2}-2x+5, fazemos a subtração:
f(x+h)-f(x)=(3x^{2}+6xh+3h^{2}-2x-2h+5)-(3x^{2}-2x+5).
Observe que 3x^{2}, -2x e +5 se cancelam. Ficamos com:
f(x+h)-f(x)=6xh+3h^{2}-2h.

Passo 5

Colocamos isso sobre h para formar o quociente de diferença:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{6xh+3h^{2}-2h}{h}.
Fatoramos h no numerador (essa é a parte chave para cancelar h):
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{h(6x+3h-2)}{h}.
Como estamos considerando h\neq 0 ao manipular a fração, podemos cancelar h:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=6x+3h-2\qquad (h\neq 0).

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to 0:
f'(x)=\lim_{h\to 0}(6x+3h-2).
Usamos propriedades simples de limite: 6x e -2 não dependem de h, e \lim_{h\to 0}3h=0. Logo
f'(x)=6x-2.

Passo 7

Interpretação rápida e motivadora: a derivada \;6x-2\; nos dá a taxa de variação instantânea de \;f em cada ponto x. Por exemplo, em x=0 a inclinação é -2, em x=1 é 4. Mandou bem por chegar até aqui!

Resposta

\;f'(x)=6x-2

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