( 1 ponto) Calcule a derivada de
usando a definição por limite.
Passo 1
O enunciado pede: calcular a derivada da função
usando a definição por limite.
Informações dadas: a função .
Pedido: encontrar (a derivada) aplicando a definição por limite.
Informações dadas: a função
Pedido: encontrar
Passo 2
Apresento a definição por limite da derivada — isso é o que vamos aplicar passo a passo. A derivada de uma função em
é
Explicando com calma:
é um pequeno incremento em
. A expressão dentro do limite é a razão entre a variação da função e a variação de
— ou seja, a “inclinação média” em um intervalo pequeno; ao fazer
obtemos a inclinação instantânea.
Passo 3
Calculemos primeiro
. Substituímos
por
em
:
Agora expandimos
:
Substituindo na expressão:
Distribuindo o
:
Passo 4
Agora calculamos a diferença
. Lembrando que
, fazemos a subtração:
Observe que
,
e
se cancelam. Ficamos com:
Passo 5
Colocamos isso sobre
para formar o quociente de diferença:
Fatoramos
no numerador (essa é a parte chave para cancelar
):
Como estamos considerando
ao manipular a fração, podemos cancelar
:
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Usamos propriedades simples de limite:
e
não dependem de
, e
. Logo
Passo 7
Interpretação rápida e motivadora: a derivada
nos dá a taxa de variação instantânea de
em cada ponto
. Por exemplo, em
a inclinação é
, em
é
. Mandou bem por chegar até aqui!