Derive as funções:
y=4 x^{3}-\frac{2}{x}+\sqrt{x}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função dada. Informações do enunciado:
y=4x^{3}-\frac{2}{x}+\sqrt{x}.
Pergunta: determinar y' (a derivada de y em relação a x). Observação importante: a função envolve \frac{1}{x} e \sqrt{x}, então preste atenção ao domínio (isso vamos discutir depois).

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever cada termo usando potências, porque a regra de derivação mais direta aqui é a regra da potência. Converter:
-\frac{2}{x} = -2x^{-1},
\sqrt{x} = x^{1/2}.
Portanto podemos escrever a função como
y = 4x^{3} - 2x^{-1} + x^{1/2}.

Passo 3

Agora a regra que vamos usar: a regra da potência e as propriedades lineares da derivada.
A regra da potência diz que, para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem da derivada, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(c\cdot f(x)\bigr)=c\cdot f'(x)
e
\frac{d}{dx}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)=f'(x)+g'(x).
Vou aplicar essas regras termo a termo.

Passo 4

Derivando o primeiro termo 4x^{3}:
retira-se a constante 4 e aplica-se a regra da potência a x^{3}:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}\bigr)=4\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}\bigr)=4\cdot(3x^{2})=12x^{2}.

Passo 5

Derivando o segundo termo -2x^{-1}:
retira-se a constante -2 e aplica-se a regra da potência a x^{-1}:
\frac{d}{dx}\bigl(-2x^{-1}\bigr)=-2\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=-2\cdot(-1)x^{-2}=2x^{-2}.
Se preferir em forma com fração:
2x^{-2}=\frac{2}{x^{2}}.

Passo 6

Derivando o terceiro termo x^{1/2}:
aplica-se a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=\frac{1}{2}x^{1/2-1}=\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Em forma com raiz:
\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 7

Somando as derivadas termo a termo (pela linearidade):
y'=12x^{2}+2x^{-2}+\frac{1}{2}x^{-1/2}.
Escrevendo com frações/raízes para ficar mais legível:
y'=12x^{2}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 8

Comentário sobre domínio e validade da derivada: a função original exige x\neq 0 (pela \frac{1}{x}) e \sqrt{x} exige x\ge 0. A interseção dá x>0. Portanto a expressão para y' vale para todos x>0. Em x=0 a função não está definida, logo não há derivada.

Passo 9

Dica rápida para a prova: sempre que vir \frac{1}{x} ou \sqrt{x}, reescreva como potências x^{-1} e x^{1/2} e aplique a regra da potência; mantenha constantes multiplicativas fora da derivada. Isso permite calcular rapidamente sem lembrar fórmulas separadas.

Resposta

y'=12x^{2}+\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}

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