Derive as funções:
y=4 x^{3}-\frac{2}{x}+\sqrt{x}
y=4 x^{3}-\frac{2}{x}+\sqrt{x}
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada da função dada. Informações do enunciado:
Pergunta: determinar
(a derivada de
em relação a
). Observação importante: a função envolve
e
, então preste atenção ao domínio (isso vamos discutir depois).
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever cada termo usando potências, porque a regra de derivação mais direta aqui é a regra da potência. Converter:
Portanto podemos escrever a função como
Passo 3
Agora a regra que vamos usar: a regra da potência e as propriedades lineares da derivada.
A regra da potência diz que, para qualquer número real ,
A regra da potência diz que, para qualquer número real
Além disso, a derivada de uma soma é a soma das derivadas e constantes saem da derivada, isto é,
e
Vou aplicar essas regras termo a termo.
Passo 4
Derivando o primeiro termo
:
retira-se a constante e aplica-se a regra da potência a
:
retira-se a constante
Passo 5
Derivando o segundo termo
:
retira-se a constante e aplica-se a regra da potência a
:
retira-se a constante
Se preferir em forma com fração:
Passo 6
Derivando o terceiro termo
:
aplica-se a regra da potência com :
aplica-se a regra da potência com
Em forma com raiz:
Passo 7
Somando as derivadas termo a termo (pela linearidade):
Escrevendo com frações/raízes para ficar mais legível:
Passo 8
Comentário sobre domínio e validade da derivada: a função original exige
(pela
) e
exige
. A interseção dá
. Portanto a expressão para
vale para todos
. Em
a função não está definida, logo não há derivada.
Passo 9
Dica rápida para a prova: sempre que vir
ou
, reescreva como potências
e
e aplique a regra da potência; mantenha constantes multiplicativas fora da derivada. Isso permite calcular rapidamente sem lembrar fórmulas separadas.