Resolva as inequações:
1x^2-x-6 <= 2x^2-2 x-8

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional 1x^2-x-6 <= 2x^2-2x-8. O conteúdo aqui é resolução de inequações racionais, onde vamos precisar combinar as frações, fatorar numerador e denominador, estudar o domínio e fazer um estudo de sinais.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio da expressão. Não podemos ter divisões por zero, então exigimos x^2-x-6ne0 e x^2-2x-8ne0. Fatorando em bloco:
x^2-x-6=(x-3)(x+2),
x^2-2x-8=(x-4)(x+2)
Logo, xne3, xne-2 e xne4.

Passo 3

Em seguida, subtraímos o segundo lado e colocamos tudo sobre um denominador comum:
1(x-3)(x+2)-2(x-4)(x+2)<=0
O denominador comum é (x-3)(x-4)(x+2). No numerador temos:
1cdot(x-4)-2cdot(x-3)=x-4-2x+6=-x+2
Então a inequação vira
-x+2(x-3)(x-4)(x+2)<=0

Passo 4

Para facilitar o estudo de sinais, podemos reescrever o numerador como -(x-2), o que inverte o sentido da desigualdade:
x-2(x-3)(x-4)(x+2)>=0
Agora listamos os pontos críticos onde numerador ou denominador zera ou é indefinido:
Zeros/nulos em x=2, x=3, x=4, x=-2

Passo 5

Fazendo o diagrama de sinais em cada intervalo determinado por esses valores, achamos que o quociente é não negativo apenas em (-2,2), em (3,4) e em outros intervalos. Como queremos o sinal original <=0, voltamos à forma com -x+2 e concluímos:
-x+2(x-3)(x-4)(x+2)<=0
é satisfeito em
(-infty,-2)cup[2,3)cup(4,infty)

Resposta

(-∞,-2) ∪ [2,3) ∪ (4,∞)

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