Derive as funções:
y=ln (x^8-3 x^5)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada da função $ y = \ln\left(x^{8} - 3x^{5}\right) $. Isso envolve cálculo, especialmente derivadas de funções logarítmicas e polinomiais. Para resolver, vamos usar a regra da cadeia e saber como derivar logaritmos e potências de $ x $.

Passo 2

Primeiro, lembremos que a derivada de $ \ln(u) $ em relação a $ x $ é $ \frac{u’}{u} $. Aqui, $ u $ é a expressão dentro do logaritmo, ou seja, $ u = x^{8} - 3x^{5} $. Então, precisamos encontrar a derivada de $ u $ em relação a $ x $.

Passo 3

Vamos derivar $ u = x^{8} - 3x^{5} $ termo a termo:
  • A derivada de $ x^{8} $ é $ 8x^{7} $ (usando a regra do potência, que diz que a derivada de $ x^n $ é $ n x^{n-1} $).
  • A derivada de $ -3x^{5} $ é $ -15x^{4} $ (multiplicamos a constante u = x^8 - 3x^5 pela derivada de $ x^{5} $, que é $ 5x^{4} $).
Então, $ u’ = 8x^{7} - 15x^{4} $.

Passo 4

Agora, aplicamos a regra da cadeia substituindo $ u’ $ e $ u $ na fórmula da derivada de $ \ln(u) $:
u'

Resposta

A derivada da função é:
y' = 8x^7 - 15x^4x^8 - 3x^5

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