Derive as funções:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função $ y = \log_{2}\left(x^{2} e^{x}\right) $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com a derivação de funções que envolvem logaritmos e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de logaritmos e produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que
. Aplicando isso:
Passo 3
Agora, vamos simplificar cada termo. Para o primeiro termo, usamos a propriedade
:
Para o segundo termo, lembramos que
:
Então, nossa função fica:
Passo 4
Agora, vamos derivar cada termo em relação a $ x $.
A derivada de $ 2 \log_{2}(x) $ em relação a $ x $ é:
Aqui, usamos a regra da derivada do logaritmo, onde
.
A derivada de $ x \log_{2}(e) $ em relação a $ x $ é:
Porque a derivada de $ x $ é 1 e $ \log_{2}(e) $ é uma constante.
Passo 5
Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
Resposta
A derivada da função $ y = \log_{2}\left(x^{2} e^{x}\right) $ é: