Derive as funções:
y=log 2(x^2 e^x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para derivar a função $ y = \log_{2}\left(x^{2} e^{x}\right) $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com a derivação de funções que envolvem logaritmos e exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação de logaritmos e produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo usando propriedades dos logaritmos. Sabemos que loga(b cdot c) = loga(b) + loga(c). Aplicando isso:
y = log2(x^2) + log2(e^x)

Passo 3

Agora, vamos simplificar cada termo. Para o primeiro termo, usamos a propriedade loga(b^c) = c loga(b):
log2(x^2) = 2 log2(x)
Para o segundo termo, lembramos que loga(e^x) = x loga(e):
log2(e^x) = x log2(e)
Então, nossa função fica:
y = 2 log2(x) + x log2(e)

Passo 4

Agora, vamos derivar cada termo em relação a $ x $.
A derivada de $ 2 \log_{2}(x) $ em relação a $ x $ é:
x
Aqui, usamos a regra da derivada do logaritmo, onde 2 log2(x) .
A derivada de $ x \log_{2}(e) $ em relação a $ x $ é:
x
Porque a derivada de $ x $ é 1 e $ \log_{2}(e) $ é uma constante.

Passo 5

Agora, juntando as derivadas dos dois termos:
dydx = 2x ln 2 + log2(e)

Resposta

A derivada da função $ y = \log_{2}\left(x^{2} e^{x}\right) $ é:
y = log2(x^2 e^x)

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