Determine o valor de
no ponto
, sendo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’(x) $, no ponto $ P = (1,1) $. A equação que relaciona $ x $ e $ y $ é:
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivação implícita, já que $ y $ está definida em termos de $ x $ de forma implícita na equação. A derivação implícita nos ajuda a encontrar $ y’(x) $ quando $ y $ não está isolada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a $ x $. Lembre-se de que $ y $ é uma função de $ x $, então sempre que derivarmos termos que envolvem $ y $, precisamos usar a regra da cadeia.
A equação é:
Vamos derivar cada termo separadamente.
Passo 3
Vamos derivar o primeiro termo: $ 3 \ln\left(\frac{x}{y}\right) $.
Usamos a regra da derivada da função composta. A derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{1}{u} \cdot u’ $, onde $ u = \frac{x}{y} $.
Então,
Passo 4
Agora, vamos derivar $ \frac{x}{y} $. Usamos a regra do quociente:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos derivar o segundo termo: $ 5 \frac{y}{x} $.
Também usamos a regra do quociente:
Passo 6
A derivada do lado direito da equação, que é 5, é zero:
Passo 7
Agora, juntando tudo, temos:
Vamos simplificar essa equação para resolver $ y’ $.
Passo 8
Multiplicamos cada termo para simplificar:
Podemos multiplicar todos os termos por $ x^2 y $ para eliminar os denominadores:
Expandindo:
Passo 9
Agora, vamos agrupar os termos com $ y’ $ e os que não têm $ y’ $:
Colocando os termos com $ y’ $ juntos:
Passo 10
Isolando $ y’ $:
Então,
Podemos simplificar multiplicando o numerador e o denominador por -1:
Passo 11
Agora, substituímos o ponto $ P = (1,1) $ na expressão para $ y’ $:
Resposta
O valor de $ y^{\prime}(x) $ no ponto $ P = (1,1) $ é $ 1 $.