Determine o valor de y^prime(x) no ponto P=(1,1), sendo 3 ln (xy)+5 yx=5.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é encontrar a derivada de $ y $ em relação a $ x $, ou seja, $ y’(x) $, no ponto $ P = (1,1) $. A equação que relaciona $ x $ e $ y $ é:
y
Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especialmente derivação implícita, já que $ y $ está definida em termos de $ x $ de forma implícita na equação. A derivação implícita nos ajuda a encontrar $ y’(x) $ quando $ y $ não está isolada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação em relação a $ x $. Lembre-se de que $ y $ é uma função de $ x $, então sempre que derivarmos termos que envolvem $ y $, precisamos usar a regra da cadeia.
A equação é:
x
Vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos derivar o primeiro termo: $ 3 \ln\left(\frac{x}{y}\right) $.
Usamos a regra da derivada da função composta. A derivada de $ \ln(u) $ é $ \frac{1}{u} \cdot u’ $, onde $ u = \frac{x}{y} $.
Então,
3 ln(xy)

Passo 4

Agora, vamos derivar $ \frac{x}{y} $. Usamos a regra do quociente:
xy
Substituindo de volta:
ddx(xy) = y cdot ddx(x) - x cdot ddx(y)y^2 = y cdot 1 - x cdot y'y^2

Passo 5

Agora, vamos derivar o segundo termo: $ 5 \frac{y}{x} $.
Também usamos a regra do quociente:
5 yx

Passo 6

A derivada do lado direito da equação, que é 5, é zero:
ddx(5) = 0

Passo 7

Agora, juntando tudo, temos:
3 cdot y - x y'x y + 5 cdot x y' - yx^2 = 0
Vamos simplificar essa equação para resolver $ y’ $.

Passo 8

Multiplicamos cada termo para simplificar:
3(y - x y')x y + 5(x y' - y)x^2 = 0
Podemos multiplicar todos os termos por $ x^2 y $ para eliminar os denominadores:
x^2 y
Expandindo:
3(y - x y') cdot x + 5(x y' - y) cdot y = 0

Passo 9

Agora, vamos agrupar os termos com $ y’ $ e os que não têm $ y’ $:
y'
Colocando os termos com $ y’ $ juntos:
y'

Passo 10

Isolando $ y’ $:
y'
Então,
y'(-3x^2 + 5x y) = -3x y + 5y^2
Podemos simplificar multiplicando o numerador e o denominador por -1:
y' = -3x y + 5y^2-3x^2 + 5x y

Passo 11

Agora, substituímos o ponto $ P = (1,1) $ na expressão para $ y’ $:
P = (1,1)

Resposta

O valor de $ y^{\prime}(x) $ no ponto $ P = (1,1) $ é $ 1 $.

Exercícios relacionados