(1 ponto) Encontre
seja contínua em (\mathbb{R}].
Passo 1
O enunciado pede para encontrar os números
seja contínua em (\mathbb{R}].
Informações relevantes do enunciado:
- A função é dada por três expressões, com quebras em
e . - A parte do meio
vale para , então e estão definidos por essa expressão. - Para que
seja contínua em todo , precisamos garantir continuidade nos pontos onde a definição muda: e . As outras partes (reta e polinômio) são funções que já são contínuas internamente.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): uma função
é contínua num ponto
se
Isto significa que o limite quando nos aproximamos de
pela esquerda deve ser igual ao limite quando nos aproximamos pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em
.
Observações práticas para este problema:
- Se uma expressão é um polinômio (como
) ou uma reta (como ou ), os limites laterais na própria expressão são simplesmente o valor da expressão no ponto. Por exemplo, . - Como
e são dados pela expressão do meio , os limites laterais nos pontos e terão que coincidir com esses valores.
Passo 3
Continuidad e em
.
Calcule o valor da função no ponto
(pegando a informação da parte do enunciado que diz
):
Calcule o limite pela esquerda em
(usando a expressão
quando
):
Para continuidade em
precisamos que o limite pela esquerda seja igual ao valor da função:
Esta é a primeira equação do sistema.
Passo 4
Continuidade em
.
Calcule o valor da função no ponto
(pela expressão do meio, já que
está incluído no intervalo):
Calcule o limite pela direita em
(usando a expressão
quando
):
Para continuidade em
precisamos que o limite pela direita seja igual ao valor da função:
Esta é a segunda equação do sistema.
Passo 5
Agora resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações obtidas:
Usamos substituição: da primeira equação isolamos
:
Substituímos na segunda equação:
Simplificando:
Agora voltamos para achar
:
Passo 6
Verificação rápida (para ter certeza de que não cometemos erro):
-
— bate com . -
— bate com .
Portanto os valores encontrados garantem continuidade em
e
, e como as outras partes são funções contínuas em seus intervalos, a função
fica contínua em todo
.