(1 ponto) Encontre a\) e \(b\) para que \[h(x)= \begin{cases}a x+b & \text { se } x<1 \\\ x^{2}-2 & \text { se } 1 \leq x \leq 3 \\\ b x-a & \text { se } x>3\end{cases}
seja contínua em (\mathbb{R}].

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os números a\) e \(b\) tais que a função \[h(x)= \begin{cases}a x+b & \text{ se } x<1 \\\ x^{2}-2 & \text{ se } 1 \leq x \leq 3 \\\ b x-a & \text{ se } x>3\end{cases}
seja contínua em (\mathbb{R}].
Informações relevantes do enunciado:
  • A função é dada por três expressões, com quebras em x=1 e x=3.
  • A parte do meio \,x^{2}-2 vale para 1\le x\le 3, então h(1) e h(3) estão definidos por essa expressão.
  • Para que h seja contínua em todo \mathbb{R}, precisamos garantir continuidade nos pontos onde a definição muda: x=1 e x=3. As outras partes (reta e polinômio) são funções que já são contínuas internamente.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado passo a passo): uma função f é contínua num ponto c se
\lim_{x\to c^-} f(x)=\lim_{x\to c^+} f(x)=f\text{(c)}.
Isto significa que o limite quando nos aproximamos de c pela esquerda deve ser igual ao limite quando nos aproximamos pela direita, e ambos devem ser iguais ao valor da função em c.
Observações práticas para este problema:
  • Se uma expressão é um polinômio (como x^2-2) ou uma reta (como ax+b ou bx-a), os limites laterais na própria expressão são simplesmente o valor da expressão no ponto. Por exemplo, \lim_{x\to 1^-} (ax+b)=a\cdot 1 + b.
  • Como h(1) e h(3) são dados pela expressão do meio (x^2-2), os limites laterais nos pontos 1 e 3 terão que coincidir com esses valores.

Passo 3

Continuidad e em x=1.
Calcule o valor da função no ponto x=1 (pegando a informação da parte do enunciado que diz 1\le x\le 3):
h(1)=1^{2}-2=1-2=-1.
Calcule o limite pela esquerda em x=1 (usando a expressão ax+b quando x<1):
\lim_{x\to 1^-} h(x)=\lim_{x\to 1^-} (ax+b)=a\cdot 1 + b = a+b.
Para continuidade em x=1 precisamos que o limite pela esquerda seja igual ao valor da função:
a+b = -1.
Esta é a primeira equação do sistema.

Passo 4

Continuidade em x=3.
Calcule o valor da função no ponto x=3 (pela expressão do meio, já que 3 está incluído no intervalo):
h(3)=3^{2}-2=9-2=7.
Calcule o limite pela direita em x=3 (usando a expressão bx-a quando x>3):
\lim_{x\to 3^+} h(x)=\lim_{x\to 3^+} (bx-a)=b\cdot 3 - a = 3b - a.
Para continuidade em x=3 precisamos que o limite pela direita seja igual ao valor da função:
3b - a = 7.
Esta é a segunda equação do sistema.

Passo 5

Agora resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações obtidas:
\begin{cases} a + b = -1,\\[4pt] - a + 3b = 7. \end{cases}
Usamos substituição: da primeira equação isolamos a:
a = -1 - b.
Substituímos na segunda equação:
-(-1 - b) + 3b = 7.
Simplificando:
1 + b + 3b = 7,
1 + 4b = 7,
4b = 6,
b = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}.
Agora voltamos para achar a:
a = -1 - b = -1 - \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} - \frac{3}{2} = -\frac{5}{2}.]

Passo 6

Verificação rápida (para ter certeza de que não cometemos erro):
  • a+b = -\frac{5}{2} + \frac{3}{2} = -\frac{2}{2} = -1 — bate com h(1)=-1.
  • 3b - a = 3\cdot\frac{3}{2} - \left(-\frac{5}{2}\right) = \frac{9}{2} + \frac{5}{2} = \frac{14}{2} = 7 — bate com h(3)=7.
Portanto os valores encontrados garantem continuidade em x=1 e x=3, e como as outras partes são funções contínuas em seus intervalos, a função h fica contínua em todo \mathbb{R}.

Resposta

a=-\dfrac{5}{2}
b=\dfrac{3}{2}

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