Derive h(x)=(7 x-3)^{50}+\sqrt{\left(40 x^{3}-3\right)}

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de
h(x) = (7x - 3)^{50} + \sqrt{40x^{3} - 3}.
O conteúdo que vamos usar inclui a regra da cadeia, a regra do expoente para funções do tipo (u)^{n} e a derivada da raiz quadrada, entendida como (u)^{\tfrac12}.

Passo 2

Vamos derivar o primeiro termo (7x - 3)^{50}. Aplicando a regra do expoente e em seguida a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}(7x - 3)^{50} = 50\,(7x - 3)^{49} \cdot \frac{d}{dx}(7x - 3) = 50\,(7x - 3)^{49} \cdot 7 = 350\,(7x - 3)^{49}.

Passo 3

Agora derivamos o segundo termo \sqrt{40x^{3} - 3} = (40x^{3} - 3)^{\tfrac12}. De novo, expoente e cadeia:
\frac{d}{dx}(40x^{3} - 3)^{\tfrac12} = \tfrac12\,(40x^{3} - 3)^{-\tfrac12} \cdot \frac{d}{dx}(40x^{3} - 3) = \tfrac12\,(40x^{3} - 3)^{-\tfrac12} \cdot 120x^{2}.
Simplificando:
\frac{120x^{2}}{2\sqrt{40x^{3} - 3}} = \frac{60x^{2}}{\sqrt{40x^{3} - 3}}.

Passo 4

A derivada de h(x) é a soma das derivadas dos dois termos obtidos:
h'(x) = 350\,(7x - 3)^{49} + \frac{60x^{2}}{\sqrt{40x^{3} - 3}}.

Resposta

h'(x) = 350\,(7x - 3)^{49} + \frac{60x^{2}}{\sqrt{40x^{3} - 3}}.

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