Calcule \lim _{x \rightarrow 1^{+}} j(x) onde j(x)=\frac{\sqrt[3]{x^{2}-1}}{\sqrt[5]{x^{3}-1}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite lateral \lim_{x\to1^+}j(x) para a função
j(x)=\frac{\sqrt[3]{x^{2}-1}}{\sqrt[5]{x^{3}-1}}.
O conteúdo é limite de função em ponto de indeterminação \tfrac{0}{0}, e vamos usar fatoração e propriedades de raízes.

Passo 2

Ao aproximarmos x\to1^+ vemos
\sqrt[3]{x^2-1}\;\to\;0 \quad\text{e}\quad \sqrt[5]{x^3-1}\;\to\;0,
logo temos forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Fatoramos os radicais:
x^2-1 = (x-1)(x+1),
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1).

Passo 4

Substituindo em j(x) e usando propriedades de potências,
j(x) = \frac{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)}}{\sqrt[5]{(x-1)(x^2+x+1)}} = \frac{(x-1)^{1/3}(x+1)^{1/3}}{(x-1)^{1/5}(x^2+x+1)^{1/5}} = (x-1)^{\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{5}}\;\frac{(x+1)^{1/3}}{(x^2+x+1)^{1/5}}.

Passo 5

O expoente de (x-1) é
\frac{1}{3}-\frac{1}{5} = \frac{2}{15} >0,
então
(x-1)^{2/15}\;\to\;0 \quad\text{quando}\quad x\to1^+.
Além disso,
(x+1)^{1/3}\to 2^{1/3}, \quad (x^2+x+1)^{1/5}\to 3^{1/5}.
Logo o quociente de raízes tende a \tfrac{2^{1/3}}{3^{1/5}}, mas multiplicado por (x-1)^{2/15}\to0 anula o resultado.

Passo 6

Portanto, o produto de um termo finito e de um termo que vai a zero resulta em zero.

Resposta

0

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