Derive:
Passo 1
O enunciado pede pra gente encontrar a derivada de h(x)=4^{K/x}. O conteúdo principal é a derivada de uma função exponencial de base constante com expoente dependente de x, e vamos usar a regra da cadeia e a derivada de K/x.
Passo 2
Para funções da forma y=a^{u(x)}, a derivada é dada por y’=a^{u(x)}\ln(a)\cdot u’(x). Isso vem de reescrever a^{u(x)} como e^{u(x)\ln(a)} e aplicar a regra da cadeia.
Passo 3
Definimos u(x)=K/x. Podemos aplicar a regra do expoente: escrevendo u(x)=K,x^{-1}, a derivada é u’(x)=K\cdot(-1),x{-2}=-K/x{2}.
Passo 4
Aplicando a fórmula da segunda etapa, substituímos u(x) e u’(x) em h’(x)=4^{u(x)}\ln(4)\cdot u’(x). Assim obtemos h’(x)=4{K/x}\ln(4)\cdot\bigl(-K/x{2}\bigr).
Passo 5
Podemos reorganizar para ficar mais bonito: h’(x)=-\frac{K\ln(4)}{x{2}},4{K/x}.
Este é o resultado final da derivada de h(x).
Este é o resultado final da derivada de h(x).
Resposta
h’(x)=-\dfrac{K\ln(4)}{x{2}},4{\tfrac{K}{x}}