Derive:
h(x)=e^{(2 x-1) \ln \left(x^{3}-2 x\right)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
h(x)=e^{(2x-1)\ln\bigl(x^{3}-2x\bigr)}.
O conteúdo aqui é aplicação da regra da cadeia para a exponencial composta e da regra do produto + derivada de logaritmo. Vamos definir uma função interna e depois aplicar essas regras.

Passo 2

Definimos
u(x) = (2x-1)\,\ln\bigl(x^{3}-2x\bigr),
de modo que
h(x)=e^{u(x)}.
Pela regra da cadeia,
h'(x)=u'(x)\,e^{u(x)}.

Passo 3

Agora calculamos u'(x). Como u(x) é produto de 2x-1 com \ln(x^{3}-2x), usamos a regra do produto:
u'(x) = (2x-1)'\,\ln\bigl(x^{3}-2x\bigr) \;+\;(2x-1)\,\bigl[\ln\bigl(x^{3}-2x\bigr)\bigr]'.
Sabemos que (2x-1)'=2 e, pela regra da cadeia,
\bigl[\ln\bigl(x^{3}-2x\bigr)\bigr]' = \frac{(x^{3}-2x)'}{x^{3}-2x} = \frac{3x^{2}-2}{x^{3}-2x}.
Logo,
u'(x) = 2\,\ln\bigl(x^{3}-2x\bigr) \;+\;(2x-1)\,\frac{3x^{2}-2}{x^{3}-2x}.

Passo 4

Voltando a h'(x), substituímos u'(x) e e^{u(x)}:
h'(x) = \Bigl[\,2\,\ln\bigl(x^{3}-2x\bigr) + (2x-1)\,\frac{3x^{2}-2}{x^{3}-2x}\Bigr]\;e^{(2x-1)\ln\bigl(x^{3}-2x\bigr)}.

Resposta

h'(x) = e^{(2x-1)\ln\bigl(x^{3}-2x\bigr)}\;\Bigl[\,2\,\ln\bigl(x^{3}-2x\bigr) + \frac{(2x-1)(3x^{2}-2)}{x^{3}-2x}\Bigr].

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