Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+2 y=e^{t}, y(0)=0, y^{\prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 2y' + 2y = e^{t},\quad y(0)=0,\;y'(0)=0
usando a transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'\}(s)=sY(s)-y(0), \quad \mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
além de \mathcal{L}\{e^{t}\}(s)=\tfrac{1}{s-1}.

Passo 2

Aplicando \mathcal{L} em ambos os lados de
y'' + 2y' + 2y = e^{t}
obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr) +2\bigl(sY(s)-y(0)\bigr) +2Y(s) =\frac{1}{s-1}.
Como y(0)=0 e y'(0)=0, isso simplifica para
(s^2+2s+2)\,Y(s)=\frac{1}{s-1} \quad\Longrightarrow\quad Y(s)=\frac{1}{(s-1)(s^2+2s+2)}.

Passo 3

Para inverter a transformada, fazemos frações parciais. Note que
s^2+2s+2=(s+1)^2+1.
Buscamos constantes A, B, C tais que
\frac{1}{(s-1)(s^2+2s+2)} =\frac{A}{s-1}+\frac{Bs+C}{s^2+2s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s^2+2s+2) e igualando coeficientes, chega-se a
A=\frac{1}{5},\quad B=-\frac{1}{5},\quad C=-\frac{3}{5}.
Reescrevendo Bs+C=-\tfrac{1}{5}(s+1)-\tfrac{2}{5}, resulta
Y(s) =\frac{1/5}{s-1} -\frac{1/5\,(s+1)}{(s+1)^2+1} -\frac{2/5}{(s+1)^2+1}.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada inversa a cada termo: \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-1}\}=e^{t}, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{s+1}{(s+1)^2+1}\}=e^{-t}\cos t, \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{(s+1)^2+1}\}=e^{-t}\sin t.
Portanto
y(t) =\frac{1}{5}e^{t} -\frac{1}{5}e^{-t}\cos t -\frac{2}{5}e^{-t}\sin t.

Resposta

y(t) =\frac{1}{5}\,e^{t} -\frac{1}{5}\,e^{-t}\cos t -\frac{2}{5}\,e^{-t}\sin t.

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