Resolva os problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por transformada de Laplace o problema de valor inicial
y'' - 2y' - 3y = 3\,t\,e^{2t},\quad y(0)=1,\;y'(0)=0.
Vamos usar as propriedades \mathcal L\{y'\}=sY(s)-y(0) e \mathcal L\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
além de \mathcal L\{t e^{at}\}=\tfrac1{(s-a)^2}.

Passo 2

Tomando transformada de Laplace em ambos os lados, notando Y(s)=\mathcal L\{y(t)\}, obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\cdot1-0\bigr)\;-\;2\bigl(sY(s)-1\bigr)\;-\;3Y(s) =\;3\;\frac1{(s-2)^2}.
Isso dá
s^2Y(s)-s-2sY(s)+2-3Y(s) =\frac{3}{(s-2)^2}.

Passo 3

Agrupando Y(s) e isolando,
Y(s)\bigl(s^2-2s-3\bigr) =\;s-2 \;+\;\frac{3}{(s-2)^2},
e como s^2-2s-3=(s-3)(s+1),
Y(s) =\frac{s-2}{(s-3)(s+1)} +\frac{3}{(s-2)^2\,(s-3)(s+1)}.

Passo 4

Decompondo a primeira fração em \tfrac{s-2}{(s-3)(s+1)}=\tfrac{A}{s-3}+\tfrac{B}{s+1},
temos
s-2 = A(s+1)+B(s-3),
logo A+B=1 e A-3B=-2. Daí A=\tfrac14, B=\tfrac34.
Assim
\frac{s-2}{(s-3)(s+1)} =\frac{1/4}{s-3}+\frac{3/4}{s+1}.

Passo 5

Para a segunda parte
\frac{3}{(s-2)^2(s-3)(s+1)} =\frac{A}{s-2}+\frac{B}{(s-2)^2}+\frac{C}{s-3}+\frac{D}{s+1},
multiplicamos tudo por (s-2)^2(s-3)(s+1) e igualamos a 3. Fazendo s=2,3,-1 e um valor genérico, obtemos
A=-\tfrac23,\quad B=-1,\quad C=\tfrac34,\quad D=-\tfrac1{12}.

Passo 6

Reescrevendo
Y(s) =\frac{1/4}{s-3}+\frac{3/4}{s+1} \;+\; \Bigl(-\tfrac23\Bigr)\frac1{s-2} \;-\;\frac1{(s-2)^2} \;+\;\tfrac34\frac1{s-3} \;-\;\tfrac1{12}\frac1{s+1}.

Passo 7

Aplicando antitransformada termo a termo: \mathcal L^{-1}\{\tfrac1{s-3}\}=e^{3t}, \mathcal L^{-1}\{\tfrac1{s+1}\}=e^{-t}, \mathcal L^{-1}\{\tfrac1{(s-2)^2}\}=t\,e^{2t}.
Portanto
y(t) =\frac14\,e^{3t}+\frac34\,e^{-t} -\frac23\,e^{2t} -t\,e^{2t} +\frac34\,e^{3t} -\frac1{12}\,e^{-t}.
Agrupando termos semelhantes em e^{3t}, e^{-t} e e^{2t}:

Passo 8

y(t) =\Bigl(\tfrac14+\tfrac34\Bigr)e^{3t} +\Bigl(\tfrac34-\tfrac1{12}\Bigr)e^{-t} -\Bigl(\tfrac23\,e^{2t}+t\,e^{2t}\Bigr)
y(t) = e^{3t} +\frac{2}{3}\,e^{-t} -\Bigl(t+\tfrac{2}{3}\Bigr)e^{2t}.

Resposta

\boxed{ y(t) = e^{3t} +\frac{2}{3}\,e^{-t} -\Bigl(t+\tfrac{2}{3}\Bigr)e^{2t} }.

Exercícios relacionados