Derive implicitamente:
Passo 1
O enunciado dá a equação implícita
e pede para encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja
, assumindo que
é uma função de
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A igualdade é válida para pontos
que satisfazem a equação. - Deve-se diferenciar implicitamente, tratando
como função de (portanto depende de e seu derivado é ).
Passo 2
Uma observação algébrica que simplifica muito o trabalho: utilizar a identidade
Aqui com
e
obtemos diretamente, pegando os termos da imagem do enunciado,
Portanto a equação original é equivalente a
Passo 3
Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade
em relação a
. Como
depende de
, no lado esquerdo aparece um produto
. Vou usar a regra do produto: se
e
são funções, então
Aqui podemos tomar
(logo
) e
(logo
). Além disso há um fator constante
. Aplicando a derivada:
No lado direito, usar a regra de potência:
. Então temos a equação derivada
Passo 4
Isolando
na equação encontrada:
logo
Se desejar, pode-se separar os termos para ver uma forma alternativa:
válida para
. (Em
a expressão obtida por divisão não é diretamente válida; nesses pontos deve-se analisar a equação original e o comportamento local para determinar se existe derivada.)
Passo 5
Breve verificação alternativa (sem simplificar antes): se alguém preferir aplicar diferenciação direta em
usa-se a regra da cadeia:
e
. Fazendo
expandindo e simplificando chega-se novamente a
portanto o resultado coincide com o do método que simplificou primeiro.