Derive implicitamente:
(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a equação implícita
(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=x^{3}
e pede para encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja y'=\dfrac{dy}{dx}, assumindo que y é uma função de x.
Informações relevantes fornecidas:
  • A igualdade é válida para pontos (x,y) que satisfazem a equação.
  • Deve-se diferenciar implicitamente, tratando y como função de x (portanto y depende de x e seu derivado é y').

Passo 2

Uma observação algébrica que simplifica muito o trabalho: utilizar a identidade
(a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab.
Aqui com a=x e b=y obtemos diretamente, pegando os termos da imagem do enunciado,
(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=4xy.
Portanto a equação original é equivalente a
4xy = x^{3}.

Passo 3

Agora diferenciamos ambos os lados da igualdade \,4xy = x^{3}\, em relação a x. Como y depende de x, no lado esquerdo aparece um produto x\cdot y(x). Vou usar a regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u'\,v + u\,v'.
Aqui podemos tomar u(x)=x (logo u'(x)=1) e v(x)=y(x) (logo v'(x)=y'). Além disso há um fator constante 4. Aplicando a derivada:
\frac{d}{dx}\big(4xy\big)=4\frac{d}{dx}(xy)=4\big(1\cdot y + x\cdot y'\big)=4y+4x y'.
No lado direito, usar a regra de potência: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}. Então temos a equação derivada
4y+4x y' = 3x^{2}.

Passo 4

Isolando y' na equação encontrada:
4x y' = 3x^{2}-4y,
logo
y'=\frac{3x^{2}-4y}{4x}.
Se desejar, pode-se separar os termos para ver uma forma alternativa:
y'=\frac{3x^{2}}{4x}-\frac{4y}{4x}=\frac{3x}{4}-\frac{y}{x},
válida para x\neq 0. (Em x=0 a expressão obtida por divisão não é diretamente válida; nesses pontos deve-se analisar a equação original e o comportamento local para determinar se existe derivada.)

Passo 5

Breve verificação alternativa (sem simplificar antes): se alguém preferir aplicar diferenciação direta em
(x+y)^{2}-(x-y)^{2}=x^{3},
usa-se a regra da cadeia: \dfrac{d}{dx}\big((x+y)^{2}\big)=2(x+y)\cdot(1+y') e \dfrac{d}{dx}\big((x-y)^{2}\big)=2(x-y)\cdot(1-y'). Fazendo
2(x+y)(1+y')-2(x-y)(1-y')=3x^{2},
expandindo e simplificando chega-se novamente a
4y+4x y' = 3x^{2},
portanto o resultado coincide com o do método que simplificou primeiro.

Resposta

y'=\frac{3x^{2}-4y}{4x}

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