Se uma função f não é analítica em um ponto z0 mas, para toda vizinhança de z0 existe um ponto onde f é analítica, o ponto z0 é chamado de ponto singular ou singularidade de f. Determine os pontos singulares das funções a seguir:
f(z)=z^2+1(z+2)(z^2+2 z+2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício sobre singularidades de funções na matemática complexa. A questão nos pede para encontrar os pontos singulares da função:
f(z) = z^2 + 1(z + 2)(z^2 + 2z + 2)
Para isso, precisamos entender onde a função não é analítica, ou seja, onde ela não é bem comportada (como pontos de descontinuidade). Vamos identificar esses pontos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que os pontos singulares ocorrem onde o denominador da função é zero, pois nesses pontos a função não está definida. Então, vamos achar os valores de que fazem o denominador zero.

Passo 3

O denominador da função é:
(z + 2)(z^2 + 2z + 2)
Vamos igualar isso a zero e resolver para (z + 2)(z^2 + 2z + 2) = 0 :
Isso nos dá duas equações para resolver:

Passo 4

Resolvendo a primeira equação:
z + 2 = 0 implies z = -2
Então, é um ponto onde o denominador é zero.

Passo 5

Agora, resolvemos a segunda equação quadrática:
z^2 + 2z + 2 = 0
Usamos a fórmula de Bhaskara:
z = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, z = -2 pm raiz(2)^2 - 4 cdot 1 cdot 22 cdot 1 = -2 pm raiz4 - 82 = -2 pm raiz-42 , z = -2 pm 2i2 = -1 pm i , e .
Como a raiz quadrada de um número negativo envolve números complexos, temos:
Então, os pontos são e .

Passo 6

Portanto, os pontos onde o denominador é zero são , e . Nesses pontos, a função não é analítica, ou seja, são singularidades.

Resposta

Os pontos singulares da função z = -2, z = -1 + i, e z = -1 - i são:

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