Se uma função
não é analítica em um ponto
mas, para toda vizinhança de
existe um ponto onde
é analítica, o ponto
é chamado de ponto singular ou singularidade de
. Determine os pontos singulares das funções a seguir:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver um exercício sobre singularidades de funções na matemática complexa. A questão nos pede para encontrar os pontos singulares da função:
Para isso, precisamos entender onde a função não é analítica, ou seja, onde ela não é bem comportada (como pontos de descontinuidade). Vamos identificar esses pontos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que os pontos singulares ocorrem onde o denominador da função é zero, pois nesses pontos a função não está definida. Então, vamos achar os valores de
que fazem o denominador zero.
Passo 3
O denominador da função é:
Vamos igualar isso a zero e resolver para
:
Isso nos dá duas equações para resolver:
Passo 4
Resolvendo a primeira equação:
Então,
é um ponto onde o denominador é zero.
Passo 5
Agora, resolvemos a segunda equação quadrática:
Usamos a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
, e
.
Como a raiz quadrada de um número negativo envolve números complexos, temos:
Então, os pontos são
e
.
Passo 6
Portanto, os pontos onde o denominador é zero são
,
e
. Nesses pontos, a função
não é analítica, ou seja, são singularidades.
Resposta
Os pontos singulares da função
são: