Indium (ln) has a tetragonal unit cell for which the a and c lattice parameters are 0.459 and 0.495 nm , respectively. (a) If the atomic packing factor and atomic radius are 0.693 and 0.1625 nm , respectively, determine the number of atoms in each unit cell. (b) The atomic weight of In is
; compute its theoretical density.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- (a) Determinar o número de átomos em cada cela unitária.
- (b) Calcular a densidade teórica do índio usando o peso atômico fornecido.
Informações fornecidas (vou listar tudo para não perder nada):
Observação: não começamos a resolver aqui; só coloquei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Volume da cela unitária: para uma cela tetragonal o volume é a área da base (
) vezes a altura (
). Então a fórmula é
Agora calculamos passo a passo os números dados:
Portanto
Explicação curta: eu multipliquei
por
e depois por
. Sempre que você vir um paralelepípedo retangular ou tetragonal, o volume é produto das três arestas; aqui duas arestas são iguais (
).
Passo 3
Volume de um átomo (tratado como esfera): usamos a fórmula do volume da esfera
onde
é o raio atômico (dado). Calculamos
e
para clareza:
Agora o volume:
(Arredondei no final para 7 dígitos significativos:
.)
Didática: essa é a maneira padrão de calcular quanto espaço ocupa cada átomo se modelarmos o átomo como uma esfera de raio
.
Passo 4
Relação entre APF, número de átomos
, volume do átomo e volume da célula:
APF é definido como fração do volume da célula ocupada por átomos:
Isolando
:
Substituindo os valores numéricos:
Calcule o numerador:
Agora a divisão:
Interpretação:
tem que ser um número inteiro (número de átomos por cela). O valor obtido está muito próximo de
, então tomamos
átomos por cela unitária.
Explicação adicional: sempre espere um inteiro. Se o cálculo der 3,99 ou 4,02, escolhemos 4. Aqui deu 4,021, o que é consistente com erros de arredondamento e com a ideia física de uma estrutura com 4 átomos na cela.
Passo 5
Agora calculamos a densidade teórica
. A expressão geral é
onde
é a massa molar (
) e
é a constante de Avogadro. Vou usar
Primeiro convertemos
de
para
, porque densidade costuma ficar em
. A conversão:
Então
Massa por célula:
Calcule o numerador:
Agora a massa numérica:
Finalmente a densidade:
Arredondando de maneira apropriada (três algarismos significativos), obtemos
.
Comentário encorajador: deu certinho com o valor conhecido do índio (~7,31 g/cm^3), então estamos razoavelmente confiantes nos cálculos.