Indium (ln) has a tetragonal unit cell for which the a and c lattice parameters are 0.459 and 0.495 nm , respectively. (a) If the atomic packing factor and atomic radius are 0.693 and 0.1625 nm , respectively, determine the number of atoms in each unit cell. (b) The atomic weight of In is 114.82 \mathrm{~g} / \mathrm{mol}; compute its theoretical density.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Determinar o número de átomos em cada cela unitária.
  2. (b) Calcular a densidade teórica do índio usando o peso atômico fornecido.
Informações fornecidas (vou listar tudo para não perder nada):
a = 0,459\\ \mathrm{nm},\qquad c = 0,495\\ \mathrm{nm}
\text{fator de empacotamento atômico (APF)} = 0,693ô
r = 0,1625\\ \mathrm{nm}
\text{massa atômica de In} = 114,82\\ \mathrm{g/mol}ô
Observação: não começamos a resolver aqui; só coloquei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Volume da cela unitária: para uma cela tetragonal o volume é a área da base ( a^2) vezes a altura ( c). Então a fórmula é
V_{\text{célula}} = a^2 c.é
Agora calculamos passo a passo os números dados:
a^2 = (0,459)^2 = 0,459\times 0,459 = 0,210681
V_{\text{célula}} = 0,210681\times 0,495 = 0,104287095\\ \mathrm{nm}^3.é
Portanto
V_{\text{célula}} \approx 0,104287095\\ \mathrm{nm}^3.é
Explicação curta: eu multipliquei a por a e depois por c. Sempre que você vir um paralelepípedo retangular ou tetragonal, o volume é produto das três arestas; aqui duas arestas são iguais ( a,a,c).

Passo 3

Volume de um átomo (tratado como esfera): usamos a fórmula do volume da esfera
V_{\text{átomo}} = \frac{4}{3}\pi r^3,á
onde r é o raio atômico (dado). Calculamos r^2 e r^3 para clareza:
r^2 = (0,1625)^2 = 0,02640625
r^3 = r^2\cdot r = 0,02640625\times 0,1625 = 0,004291015625\\ \mathrm{nm}^3.
Agora o volume:
V_{\text{átomo}} = \frac{4}{3}\pi(0,004291015625) \approx 4,188790205\times 0,004291015625 = 0,0179731\\ \mathrm{nm}^3.á
(Arredondei no final para 7 dígitos significativos: V_{\text{átomo}}\approx 0,0179731\\ \mathrm{nm}^3á.)
Didática: essa é a maneira padrão de calcular quanto espaço ocupa cada átomo se modelarmos o átomo como uma esfera de raio r.

Passo 4

Relação entre APF, número de átomos N, volume do átomo e volume da célula:
APF é definido como fração do volume da célula ocupada por átomos:
\text{APF} = \frac{N\;V_{\text{átomo}}}{V_{\text{célula}}}.áé
Isolando N:
N = \frac{\text{APF}\;V_{\text{célula}}}{V_{\text{átomo}}}.éá
Substituindo os valores numéricos:
N = \frac{0,693\times 0,104287095}{0,0179731}.
Calcule o numerador:
0,693\times 0,104287095 = 0,072270966835.
Agora a divisão:
N = \frac{0,072270966835}{0,0179731} \approx 4,021.
Interpretação: N tem que ser um número inteiro (número de átomos por cela). O valor obtido está muito próximo de 4, então tomamos N=4 átomos por cela unitária.
Explicação adicional: sempre espere um inteiro. Se o cálculo der 3,99 ou 4,02, escolhemos 4. Aqui deu 4,021, o que é consistente com erros de arredondamento e com a ideia física de uma estrutura com 4 átomos na cela.

Passo 5

Agora calculamos a densidade teórica \rho. A expressão geral é
\rho = \frac{\text{massa na célula}}{\text{volume da célula}} = \frac{N\;M}{N_A\;V_{\text{célula}}},ééé
onde M é a massa molar ( \mathrm{g/mol}) e N_A é a constante de Avogadro. Vou usar
N_A = 6,022\times 10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}.
Primeiro convertemos V_{\text{célula}}é de \mathrm{nm}^3 para \mathrm{cm}^3, porque densidade costuma ficar em \mathrm{g/cm^3}. A conversão:
1\\ \mathrm{nm} = 10^{-7}\\ \mathrm{cm}\quad\Rightarrow\quad 1\\ \mathrm{nm}^3 = 10^{-21}\\ \mathrm{cm}^3.
Então
V_{\text{célula}} = 0,104287095\\ \mathrm{nm}^3 = 0,104287095\times 10^{-21}\\ \mathrm{cm}^3 = 1,04287095\times 10^{-22}\\ \mathrm{cm}^3.é
Massa por célula:
\text{massa}_{\text{célula}} = \frac{N\;M}{N_A} = \frac{4\times 114,82}{6,022\times 10^{23}}\\ \mathrm{g}.é
Calcule o numerador:
4\times 114,82 = 459,28\\ \mathrm{g/mol}.
Agora a massa numérica:
\text{massa}_{\text{célula}} = \frac{459,28}{6,022\times 10^{23}} \approx 7,6265\times 10^{-22}\\ \mathrm{g}.é
Finalmente a densidade:
\rho = \frac{7,6265\times 10^{-22}\\ \mathrm{g}}{1,04287095\times 10^{-22}\\ \mathrm{cm}^3} \approx 7,316\\ \mathrm{g/cm^3}.
Arredondando de maneira apropriada (três algarismos significativos), obtemos \rho \approx 7,32\\ \mathrm{g/cm^3}.
Comentário encorajador: deu certinho com o valor conhecido do índio (~7,31 g/cm^3), então estamos razoavelmente confiantes nos cálculos.

Resposta

N = 4 átomos por cela unitária\newline
\rho \approx 7,32\\ \mathrm{g/cm^3}

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