Derive.
(s) f(x)=e^-x arctg(e^x)tg(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função f(x)=dfrace^-xarctan(e^x)tan(x). O conteúdo principal é aplicação da regra do quociente combinada com regra do produto e cadeia para derivar o numerador, e regra da derivada da tangente para o denominador.

Passo 2

Vamos chamar o numerador de N(x)=e^-xarctan(e^x) e o denominador de D(x)=tan(x).

Passo 3

Derivamos N(x) usando regra do produto: u(x)=e^-x e v(x)=arctan(e^x). Então
u'(x)=-e^-x, v'(x)=11+(e^x)^2cdot e^x=e^x1+e^2x

Passo 4

Logo
N'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=-e^-xarctan(e^x)+e^-xcdote^x1+e^2x=-e^-xarctan(e^x)+11+e^2x

Passo 5

Derivada do denominador é
D'(x)=ddx[tan(x)]=sec^2(x)

Passo 6

Aplicando a regra do quociente
f'(x)=N'(x)D(x)-N(x)D'(x)[D(x)]^2 = l(-e^-xarctan(e^x)+11+e^2xr)tan(x)-e^-xarctan(e^x)sec^2(x)tan^2(x)

Resposta

f’(x)=\frac{\Bigl(-e{-x}\arctan(ex)+\dfrac{1}{1+e{2x}}\Bigr)\tan(x)-e{-x}\arctan(ex)\sec2(x)}{\tan^2(x)}

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