Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
integral duplaR(2 x-y) d A onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelo círculo x^2+y^2=4 e as retas x=0 e y=0.

Passo 1

Resumimos que precisamos calcular a integral dupla integral duplaR (2x - y) , dA onde R é o setor circular no primeiro quadrante limitado por x^2 + y^2 = 4, x=0 e y=0. O conteúdo é transformação para coordenadas polares, usando x = rcosθ, y = rsinθ e dA = r,dr,dθ.

Passo 2

Em coordenadas polares, temos:
x = rcosθ, y = rsinθ, dA = r,dr,dθ
A região R corresponde a 0 <= r <= 2 e 0 <= θ <= tfracπ2.

Passo 3

Substituindo na integral dupla, o integrando 2x - y vira r(2cosθ - sinθ) e com o fator dA = r,dr,dθ obtemos:
integral duplaR (2x - y) , dA = integral0^π2 integral0^2 r^2(2cosθ - sinθ) , dr , dθ

Passo 4

Podemos separar em parte radial e parte angular:
integral0^2 r^2 , dr times integral0^π2 (2cosθ - sinθ) , dθ
A parte radial é:
integral0^2 r^2 , dr = r^33|0^2 = 83,
e a parte angular é:
integral0^π2 (2cosθ - sinθ) , dθ = l(2sinθ + cosθr)|0^π2 = 2 - 1 = 1

Passo 5

Multiplicando os resultados das partes radial e angular, concluímos o valor final:
83

Resposta

8/3

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