Exprima a solução geral da equação seguinte como uma série de potências em torno do ponto x=0.
y^prime prime+x^2 y^prime+2 x y=0.

Passo 1

A equação é y'' + x^2y' + 2xy = 0. O conteúdo é método de série de potências em torno de x=0. Vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série y = sumn=0^infty an x^n e determinar os coeficientes an.

Passo 2

Derivando em série temos
y = sumn=0^infty an x^n,
$$
y

Resposta

A solução geral em série de potências em torno de x=0 é
y(x)=C1sumk=0^infty(-1)^k3^k k!x^3k + C2sumk=0^infty(-1)^kprodj=0^k(3j+1)x^3k+1,
ou, de modo equivalente,
y(x)=C1l(1-tfracx^33+tfracx^618-cdotsr) + C2l(x-tfracx^44+tfracx^728-cdotsr),
com constantes arbitrárias C1 e C2.

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