Use a integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região.
Região limitada pelos cardioides r=1+cos theta e r=1-cos theta.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas cardioides r = 1 + cos θ e r = 1 - cos θ usando integral dupla em coordenadas polares. Vamos precisar achar os ângulos de interseção dessas curvas e definir, para cada intervalo de θ, qual delas é o limite interno e qual é o externo.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as expressões de r:
1 + cos θ = 1 - cos θ
Logo,
cos θ = 0 Rightarrow θ = tfracpi2,, tfrac3pi2

Passo 3

Observando o sinal de cos θ em cada intervalo, vemos que para θin[tfracpi2,tfrac3pi2] temos cos θ<=0. Nesse caso,
1+cos θ <= 1-cos θ,
ou seja, o limite interno é rrm in=1+cos θ e o externo é rrm out=1-cos θ.

Passo 4

Montamos a integral de área em polares:
A = integralθ=pi/2^3pi/2integralr=1+cos θ^1-cos θr,dr,dθ = 12integralpi/2^3pi/2l[(1-cos θ)^2-(1+cos θ)^2r],dθ

Passo 5

Expandindo a diferença de quadrados:
(1-cos θ)^2-(1+cos θ)^2 = -4cos θ
Então
A = 12integralpi/2^3pi/2(-4cos θ),dθ = -2integralpi/2^3pi/2cos θ,dθ
Integrando:
A = -2l[sin θr]pi/2^3pi/2 = -2l((-1)-(1)r) = 4

Resposta

4

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