Use a integral dupla em coordenadas polares para calcular a área da região.
Região limitada pelos cardioides
e
.
Região limitada pelos cardioides
Passo 1
O enunciado pede para calcular a área da região limitada pelas cardioides
e
usando integral dupla em coordenadas polares. Vamos precisar achar os ângulos de interseção dessas curvas e definir, para cada intervalo de
, qual delas é o limite interno e qual é o externo.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as expressões de
:
Logo,
Passo 3
Observando o sinal de
em cada intervalo, vemos que para
temos
. Nesse caso,
ou seja, o limite interno é
e o externo é
.
Passo 4
Montamos a integral de área em polares:
Passo 5
Expandindo a diferença de quadrados:
Então
Integrando:
Resposta
4