Considere o ponto
sobre o eixo
e o gráfico da função
. Determine o valor da abscissa
, tal que a distância entre o ponto
e
seja a menor possível.
[Obs: para resposta não inteira usar 2 casas decimais após a vírgula]
[Obs: para resposta não inteira usar 2 casas decimais após a vírgula]
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto $ P = (2, 0) $ no eixo $ x $ e o gráfico da função $ f(x) = \sqrt{2x^2 + x + 2} $. Nosso objetivo é encontrar o valor da abscissa $ a $ tal que a distância entre o ponto $ (a, f(a)) $ e $ P $ seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e um pouquinho de cálculo para minimizar essa distância.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $, a distância $ D $ entre eles é dada por:
No nosso caso, os pontos são $ P = (2, 0) $ e $ Q = (a, f(a)) $.
Passo 3
Vamos aplicar a fórmula da distância para esses pontos:
Mas para facilitar a minimização, vamos trabalhar com $ D(a)^2 $, que é:
Passo 4
Sabemos que $ f(a) = \sqrt{2a^2 + a + 2} $. Então, $ f(a)^2 = 2a^2 + a + 2 $. Vamos substituir isso na expressão de $ D(a)^2 $:
Passo 5
Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:
Então:
Passo 6
Para encontrar o valor de $ a $ que minimiza $ D(a)^2 $, vamos derivar essa função em relação a $ a $ e igualar a zero:
Igualando a zero:
Resposta
O valor da abscissa $ a $ que minimiza a distância é $ a = 0,50 $.