Considere o ponto P=(2,0) sobre o eixo x e o gráfico da função f(x)=raiz2 x^2+x+2. Determine o valor da abscissa a, tal que a distância entre o ponto (a, f(a)) e P seja a menor possível.
[Obs: para resposta não inteira usar 2 casas decimais após a vírgula]

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um ponto $ P = (2, 0) $ no eixo $ x $ e o gráfico da função $ f(x) = \sqrt{2x^2 + x + 2} $. Nosso objetivo é encontrar o valor da abscissa $ a $ tal que a distância entre o ponto $ (a, f(a)) $ e $ P $ seja a menor possível. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula da distância entre dois pontos e um pouquinho de cálculo para minimizar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. Se temos dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $, a distância $ D $ entre eles é dada por:
(x1, y1)
No nosso caso, os pontos são $ P = (2, 0) $ e $ Q = (a, f(a)) $.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula da distância para esses pontos:
D(a) = raiz(a - 2)^2 + (f(a) - 0)^2 = raiz(a - 2)^2 + f(a)^2
Mas para facilitar a minimização, vamos trabalhar com $ D(a)^2 $, que é:
D(a)^2

Passo 4

Sabemos que $ f(a) = \sqrt{2a^2 + a + 2} $. Então, $ f(a)^2 = 2a^2 + a + 2 $. Vamos substituir isso na expressão de $ D(a)^2 $:
f(a) = raiz2a^2 + a + 2

Passo 5

Agora, vamos expandir e simplificar a expressão:
(a - 2)^2 = a^2 - 4a + 4
Então:
D(a)^2 = a^2 - 4a + 4 + 2a^2 + a + 2 = 3a^2 - 3a + 6

Passo 6

Para encontrar o valor de $ a $ que minimiza $ D(a)^2 $, vamos derivar essa função em relação a $ a $ e igualar a zero:
a
Igualando a zero:
D(a)^2

Resposta

O valor da abscissa $ a $ que minimiza a distância é $ a = 0,50 $.

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