Derive a seguinte função:
g(x)=sec (ln (1+raiz[3]2 x-1)).

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
g(x)=secl(lnl(1+raiz[3]2x-1r)r)
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia para funções compostas em múltiplos níveis: primeiro temos sec(u), depois u=ln(v) e por fim v=1+(2x-1)^1/3. Vamos usar:
  1. dfracddusec(u)=sec(u)tan(u).
  2. dfracddvln(v)=dfrac1v.
  3. dfracddx(2x-1)^1/3=tfrac13(2x-1)^-2/3cdot2.

Passo 2

Defina
u(x)=lnl(1+raiz[3]2x-1r)
Aplicando a regra da cadeia para g(x)=secl(u(x)r), temos
g'(x)=secl(u(x)r),tanl(u(x)r),cdot u'(x)

Passo 3

Agora derive u(x)=lnl(v(x)r) com v(x)=1+(2x-1)^1/3. Pela regra da cadeia,
u'(x)=1v(x);v'(x) =11+(2x-1)^1/3;v'(x)

Passo 4

Calcule v'(x) com v(x)=1+(2x-1)^1/3. A parte constante some, então
v'(x)=ddx(2x-1)^1/3 =13(2x-1)^-2/3cdot 2 =23(2x-1)^-2/3

Passo 5

Juntando tudo,
u'(x) =11+(2x-1)^1/3;23(2x-1)^-2/3 =23,(2x-1)^-2/31+(2x-1)^1/3
Logo,
g'(x) =secl(u(x)r),tanl(u(x)r), cdot23,(2x-1)^-2/31+(2x-1)^1/3
Substituindo u(x)=ln(1+(2x-1)^1/3), obtemos a forma final.

Resposta

g'(x) =23,(2x-1)^-2/31+(2x-1)^1/3; sec!l(lnl(1+(2x-1)^1/3r)r); tan!l(lnl(1+(2x-1)^1/3r)r)

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