Prove que se
é compacto então o conjunto
também é compacto.
Passo 1
O enunciado afirma que
é compacto e pede para provar que
também é compacto. Em espaços métricos, uma forma direta de mostrar compacidade é usar a compacidade sequencial: basta tomar uma sequência arbitrária em
e mostrar que ela tem uma subsequência que converge a um ponto de
.
Passo 2
Seja
uma sequência em
. Por definição de
, para cada
existem
tais que
Como
é compacto em
, ele é sequencialmente compacto. Logo a sequência
possui uma subsequência
que converge para algum ponto
:
Passo 3
Agora olhe para a sequência
. De novo, pela compacidade sequencial de
, extraímos uma subsequência
que converge para algum
:
Considere então a subsequência correspondente de
, ou seja,
. Para esses índices vale
Passo 4
Como a soma é uma função contínua em
, temos
E como
e
, segue
. Assim mostramos que toda sequência em
tem uma subsequência que converge a um ponto de
, isto é,
é sequencialmente compacto. Em
, compacidade sequencial é equivalente a compacidade.
Resposta
O conjunto
é compacto.