Prove que se K subset R é compacto então o conjunto
S=x+y ; x, y in K
também é compacto.

Passo 1

O enunciado afirma que KsubsetR é compacto e pede para provar que
S=,x+ymid x,yin K
também é compacto. Em espaços métricos, uma forma direta de mostrar compacidade é usar a compacidade sequencial: basta tomar uma sequência arbitrária em S e mostrar que ela tem uma subsequência que converge a um ponto de S.

Passo 2

Seja (zn) uma sequência em S. Por definição de S, para cada n existem xn,ynin K tais que
zn = xn + yn
Como K é compacto em R, ele é sequencialmente compacto. Logo a sequência (xn)subset K possui uma subsequência (xnk) que converge para algum ponto xin K:
xnk;longrightarrow;x,, xin K

Passo 3

Agora olhe para a sequência (ynk)subset K. De novo, pela compacidade sequencial de K, extraímos uma subsequência (ynkj) que converge para algum yin K:
ynkj;longrightarrow;y,, yin K
Considere então a subsequência correspondente de (zn), ou seja, l(znkjr). Para esses índices vale
znkj ;=; xnkj ;+; ynkj

Passo 4

Como a soma é uma função contínua em R, temos
znkj = xnkj + ynkj ;longrightarrow; x + y
E como xin K e yin K, segue x+yin S. Assim mostramos que toda sequência em S tem uma subsequência que converge a um ponto de S, isto é, S é sequencialmente compacto. Em R, compacidade sequencial é equivalente a compacidade.

Resposta

O conjunto S é compacto.

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