Derive a seguinte função usando a Regra da Cadeia, possivelmente combinada com outras regras:
h(x)=\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
h(x)=\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{3}
e pede para derivá‑la usando a Regra da Cadeia (e outras regras que forem necessárias).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é uma potência composta: uma função externa u \mapsto u^{3} aplicada à função interna g(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}.
  • Devemos calcular h'(x) para valores de x em que x^{2}-1\neq0 (ou seja, x\neq\pm1), pois o denominador da fração interna não pode ser zero.

Passo 2

Vou escrever a decomposição em função externa e interna para aplicar a Regra da Cadeia de forma clara. Defino
g(x)=\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}, \qquad \text{e} \qquad h(x)=\big(g(x)\big)^{3}.
A Regra da Cadeia diz que, se h(x)=F(G(x)), então
h'(x)=F'(G(x))\cdot G'(x).
Aqui F(u)=u^{3} e G(x)=g(x). Calcularei F'(u) e g'(x) separadamente.

Passo 3

Derivar a função externa F(u)=u^{3}. Usando a regra do poder (derivada de u^n é n u^{n-1}):
F'(u)=3u^{2}.
Substituindo u=g(x) obtemos a contribuição da função externa:
F'(g(x))=3\big(g(x)\big)^{2}=3\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{2}.

Passo 4

Agora preciso de g'(x), onde g(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-1}. Para isso uso a Regra do Quociente: se g(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)} então
g'(x)=\frac{p'(x)q(x)-p(x)q'(x)}{[q(x)]^{2}}.
No nosso caso p(x)=x^{2}+1 e q(x)=x^{2}-1. Calculo as derivadas:
p'(x)=2x,\qquad q'(x)=2x.
Aplicando a fórmula do quociente:
g'(x)=\frac{(2x)(x^{2}-1)-(x^{2}+1)(2x)}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 5

Simplifico o numerador de g'(x). Factorizo 2x para simplificar:
g'(x)=\frac{2x\big((x^{2}-1)-(x^{2}+1)\big)}{(x^{2}-1)^{2}}.
Calculo a diferença dentro do parêntese:
(x^{2}-1)-(x^{2}+1)=x^{2}-1-x^{2}-1=-2.
Portanto
g'(x)=\frac{2x\cdot(-2)}{(x^{2}-1)^{2}}=\frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}.

Passo 6

Agora aplico a Regra da Cadeia: h'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x). Substituindo os resultados obtidos em passos anteriores:
h'(x)=3\left(\frac{x^{2}+1}{x^{2}-1}\right)^{2}\cdot\left(\frac{-4x}{(x^{2}-1)^{2}}\right).
Multiplico os fatores constantes e simplifico as potências do denominador:
h'(x)=-12x\;\frac{(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}-1)^{2}\,(x^{2}-1)^{2}}.
Como (x^{2}-1)^{2}\cdot(x^{2}-1)^{2}=(x^{2}-1)^{4}, chega‑se à forma simplificada final.

Resposta

h'(x)=-\dfrac{12x\,(x^{2}+1)^{2}}{(x^{2}-1)^{4}}

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