Derive a seguinte função usando a Regra da Cadeia, possivelmente combinada com outras regras:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la usando a Regra da Cadeia (e outras regras que forem necessárias).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é uma potência composta: uma função externa
aplicada à função interna . - Devemos calcular
para valores de em que (ou seja, ), pois o denominador da fração interna não pode ser zero.
Passo 2
Vou escrever a decomposição em função externa e interna para aplicar a Regra da Cadeia de forma clara. Defino
A Regra da Cadeia diz que, se
, então
Aqui
e
. Calcularei
e
separadamente.
Passo 3
Derivar a função externa
. Usando a regra do poder (derivada de
é
):
Substituindo
obtemos a contribuição da função externa:
Passo 4
Agora preciso de
, onde
. Para isso uso a Regra do Quociente: se
então
No nosso caso
e
. Calculo as derivadas:
Aplicando a fórmula do quociente:
Passo 5
Simplifico o numerador de
. Factorizo
para simplificar:
Calculo a diferença dentro do parêntese:
Portanto
Passo 6
Agora aplico a Regra da Cadeia:
. Substituindo os resultados obtidos em passos anteriores:
Multiplico os fatores constantes e simplifico as potências do denominador:
Como
, chega‑se à forma simplificada final.