Calcule os seguintes limites fundamentais (não use L’Hôspital ainda):
\lim _{t \rightarrow 0} \frac{\tan 6 t}{t}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{t\to 0}\frac{\tan 6t}{t}.
Informações dadas e objetivo claro:
  • A variável tende para 0: t\to 0.
  • A expressão a avaliar é \dfrac{\tan 6t}{t}.
  • Não usar L’Hôpital; usar limites trigonométricos fundamentais e manipulações algébricas.

Passo 2

Transformar a função em coisas que conhecemos. Usar a identidade \tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}. Então escrevemos
\frac{\tan 6t}{t}=\frac{\sin 6t}{\cos 6t}\cdot\frac{1}{t}.
Agora isolo um fator que lembra o limite trigonométrico padrão \dfrac{\sin x}{x}. Reescrevo como
\frac{\tan 6t}{t}=\frac{\sin 6t}{6t}\cdot\frac{6}{\cos 6t}.

Passo 3

Explicar por que a manipulação acima é válida: multipliquei e dividi por 6 de forma a obter o quociente \dfrac{\sin 6t}{6t}, que é exatamente a forma do limite fundamental. Em detalhe:
\frac{\sin 6t}{\cos 6t}\cdot\frac{1}{t}=\frac{\sin 6t}{\cos 6t}\cdot\frac{6}{6t}=\left(\frac{\sin 6t}{6t}\right)\left(\frac{6}{\cos 6t}\right).

Passo 4

Lembrar e provar o limite fundamental \lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{x}=1 (prova clássica por desigualdades — squeeze theorem).
Para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale geometricamente a desigualdade
\sin x < x < \tan x.
Dividindo tudo por \sin x (positivo nesse intervalo) dá
1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{1}{\cos x}.
Invertendo os termos (tomando recíproco) e lembrando que os recíprocos preservam a ordem quando todos os termos são positivos, obtemos
\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1.
Agora, ao fazer x\to 0^+, temos \cos x\to \cos 0=1. Pelo princípio do sanduíche (squeeze theorem),
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Para x\to 0^- a função \dfrac{\sin x}{x} é par ao redor de zero (na verdade é contínua e o limite à esquerda coincide), então a conclusão vale para x\to 0 de ambos os lados.

Passo 5

Aplicar o limite fundamental ao nosso fator substituindo x=6t. Como t\to 0 implica 6t\to 0, temos
\lim_{t\to 0}\frac{\sin 6t}{6t}=1.

Passo 6

Tratar o outro fator \dfrac{6}{\cos 6t}. A função \cos u é contínua e \cos 0=1, logo
\lim_{t\to 0}\frac{1}{\cos 6t}=\frac{1}{\cos 0}=1.
Portanto
\lim_{t\to 0}\frac{6}{\cos 6t}=6\cdot\lim_{t\to 0}\frac{1}{\cos 6t}=6\cdot 1=6.

Passo 7

Usar a propriedade que o limite do produto é o produto dos limites (quando todos existem). Dos passos anteriores:
\lim_{t\to 0}\frac{\tan 6t}{t}=\left(\lim_{t\to 0}\frac{\sin 6t}{6t}\right)\left(\lim_{t\to 0}\frac{6}{\cos 6t}\right)=1\cdot 6=6.

Passo 8

Interpretação rápida para a prova: para pequenos t, \tan 6t comporta-se como 6t, então o quociente \tan 6t / t tende a 6. Essa é uma regra útil e generalizável: \lim_{t\to 0}\dfrac{\tan(at)}{t}=a.

Resposta

6

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