Calcule os seguintes limites fundamentais (não use L’Hôspital ainda):
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas e objetivo claro:
- A variável tende para
: . - A expressão a avaliar é
. - Não usar L’Hôpital; usar limites trigonométricos fundamentais e manipulações algébricas.
Passo 2
Transformar a função em coisas que conhecemos. Usar a identidade
. Então escrevemos
Agora isolo um fator que lembra o limite trigonométrico padrão
. Reescrevo como
Passo 3
Explicar por que a manipulação acima é válida: multipliquei e dividi por
de forma a obter o quociente
, que é exatamente a forma do limite fundamental. Em detalhe:
Passo 4
Lembrar e provar o limite fundamental
(prova clássica por desigualdades — squeeze theorem).
Para
vale geometricamente a desigualdade
Dividindo tudo por
(positivo nesse intervalo) dá
Invertendo os termos (tomando recíproco) e lembrando que os recíprocos preservam a ordem quando todos os termos são positivos, obtemos
Agora, ao fazer
, temos
. Pelo princípio do sanduíche (squeeze theorem),
Para
a função
é par ao redor de zero (na verdade é contínua e o limite à esquerda coincide), então a conclusão vale para
de ambos os lados.
Passo 5
Aplicar o limite fundamental ao nosso fator substituindo
. Como
implica
, temos
Passo 6
Tratar o outro fator
. A função
é contínua e
, logo
Portanto
Passo 7
Usar a propriedade que o limite do produto é o produto dos limites (quando todos existem). Dos passos anteriores:
Passo 8
Interpretação rápida para a prova: para pequenos
,
comporta-se como
, então o quociente
tende a
. Essa é uma regra útil e generalizável:
.