Derive a seguinte função usando a Regra da Cadeia, possivelmente combinada com outras regras:
y=\sin ^{2}(\cos (4 x))

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pede-se a derivada da função
    y=\sin^{2}\!\big(\cos(4x)\big).
  • Informações dadas (explícitas na expressão):
    • A função é uma composição de várias funções: uma potência ao quadrado por fora, depois seno, depois cosseno, e por fim uma função linear 4x.
  • O objetivo é encontrar y'=\dfrac{dy}{dx}.

Passo 2

Ferramentas básicas que vamos usar (explicadas devagar):
  • Regra da cadeia (forma geral): se y=f(g(x)), então
    \frac{dy}{dx}=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
    Aqui f' é a derivada de f em relação ao seu argumento, e g'(x) é a derivada de g em relação a x.
  • Derivada de potência: se y=[u(x)]^{2}, então
    \frac{dy}{dx}=2\,u(x)\cdot u'(x).
    Ou seja, trazemos o expoente para frente e multiplicamos pela derivada do interior u'(x).
  • Derivadas trigonométricas básicas:
    • Se u=\sin(v), então \dfrac{du}{dv}=\cos(v), e por cadeia \dfrac{du}{dx}=\cos(v)\cdot \dfrac{dv}{dx}.
    • Se v=\cos(w), então \dfrac{dv}{dw}=-\sin(w), e por cadeia \dfrac{dv}{dx}=-\sin(w)\cdot \dfrac{dw}{dx}.
  • Derivada de uma função linear simples: se w=4x, então \dfrac{dw}{dx}=4.
Vou aplicar essas regras passo a passo, substituindo as letras por cada camada da composição da função dada.

Passo 3

Primeira substituição (identificar camadas):
  • Seja u(x)=\sin\big(\cos(4x)\big). Então y=[u(x)]^{2}.
Aplicando a regra da potência (derivada de u^{2}):
\frac{dy}{dx}=2\,u(x)\cdot \frac{du}{dx}.
Substituindo u(x) de volta quando for necessário.

Passo 4

Agora calculamos \dfrac{du}{dx}. Para isso, escrevemos u como composição mais interna:
  • Seja v(x)=\cos(4x). Então u(x)=\sin\big(v(x)\big).
Aplicando a regra para \sin(v):
\frac{du}{dx}=\cos\big(v(x)\big)\cdot \frac{dv}{dx}.

Passo 5

Calcular \dfrac{dv}{dx} com v(x)=\cos(4x).
  • Use a derivada do cosseno e a regra da cadeia: se v=\cos(w) e w=4x, então \frac{dv}{dx}=-\sin(w)\cdot\frac{dw}{dx}.
  • Como w=4x, tem \dfrac{dw}{dx}=4. Portanto \frac{dv}{dx}=-\sin(4x)\cdot 4=-4\sin(4x).

Passo 6

Voltar para \dfrac{du}{dx} usando o resultado de \dfrac{dv}{dx}:
\frac{du}{dx}=\cos\big(v(x)\big)\cdot \frac{dv}{dx} =\cos\big(\cos(4x)\big)\cdot\big(-4\sin(4x)\big).
Ou seja,
\frac{du}{dx}=-4\cos\big(\cos(4x)\big)\sin(4x).

Passo 7

Agora combinar com a fórmula para \dfrac{dy}{dx} do Passo 3:
\frac{dy}{dx}=2\,u(x)\cdot \frac{du}{dx} =2\sin\big(\cos(4x)\big)\cdot\big(-4\cos(\cos(4x))\sin(4x)\big).
Multiplicando os fatores:
\frac{dy}{dx}=-8\,\sin\big(\cos(4x)\big)\,\cos\big(\cos(4x)\big)\,\sin(4x).

Passo 8

Opcional: simplificação trigonométrica elegante. Usando a identidade \,2\sin A\cos A=\sin(2A)\, com A=\cos(4x):
  • Note que -8\sin(\cos(4x))\cos(\cos(4x))\sin(4x) pode ser reescrito como -8\cdot\frac{1}{2}\sin\big(2\cos(4x)\big)\sin(4x) =-4\,\sin\big(2\cos(4x)\big)\,\sin(4x).
Portanto há duas formas equivalentes (uma mais “direta” e outra usando a identidade dupla).

Resposta

-8\,\sin\big(\cos(4x)\big)\,\cos\big(\cos(4x)\big)\,\sin(4x)
ou, de forma equivalente,
-4\,\sin\big(2\cos(4x)\big)\,\sin(4x)

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