Derive a seguinte função usando a Regra da Cadeia, possivelmente combinada com outras regras:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado:
- Pede-se a derivada da função
. - Informações dadas (explícitas na expressão):
- A função é uma composição de várias funções: uma potência ao quadrado por fora, depois seno, depois cosseno, e por fim uma função linear
.
- A função é uma composição de várias funções: uma potência ao quadrado por fora, depois seno, depois cosseno, e por fim uma função linear
- O objetivo é encontrar
.
Passo 2
Ferramentas básicas que vamos usar (explicadas devagar):
-
Regra da cadeia (forma geral): se
, então Aquié a derivada de em relação ao seu argumento, e é a derivada de em relação a . -
Derivada de potência: se
, então Ou seja, trazemos o expoente para frente e multiplicamos pela derivada do interior. -
Derivadas trigonométricas básicas:
- Se
, então , e por cadeia . - Se
, então , e por cadeia .
- Se
-
Derivada de uma função linear simples: se
, então .
Vou aplicar essas regras passo a passo, substituindo as letras por cada camada da composição da função dada.
Passo 3
Primeira substituição (identificar camadas):
- Seja
. Então .
Aplicando a regra da potência (derivada de
):
Substituindo
de volta quando for necessário.
Passo 4
Agora calculamos
. Para isso, escrevemos
como composição mais interna:
- Seja
. Então .
Aplicando a regra para
:
Passo 5
Calcular
com
.
- Use a derivada do cosseno e a regra da cadeia: se
e , então - Como
, tem . Portanto
Passo 6
Voltar para
usando o resultado de
:
Ou seja,
Passo 7
Agora combinar com a fórmula para
do Passo 3:
Multiplicando os fatores:
Passo 8
Opcional: simplificação trigonométrica elegante. Usando a identidade
com
:
- Note que
pode ser reescrito como
Portanto há duas formas equivalentes (uma mais “direta” e outra usando a identidade dupla).
Resposta
ou, de forma equivalente,