Derive a seguinte função usando a Regra da Cadeia, possivelmente combinada com outras regras:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
- Pedido: calcular a derivada de
em relação a , ou seja encontrar , quando
- Informação dada: a função é uma composição de funções exponencial, tangente e potência (ao quadrado). Não há outros dados numéricos.
Passo 2
Lembrando as regras que vamos usar (cada fórmula explicada):
- Regra da cadeia (forma geral): para uma composição
,
Isto significa: derivar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da função interna.
- Derivada da exponencial: para uma função
,
Aqui
é a derivada da função no expoente.
- Derivada da tangente: para uma função
,
Lembre:
, então
.
- Derivada de potência simples:
Passo 3
Identificar as “camadas” da composição (de dentro para fora):
- Camada mais interna:
. - Camada do meio:
. - Camada externa:
.
Explicação do porquê: a função original é
com
,
,
. A regra da cadeia vai aplicar-se sucessivamente.
Passo 4
Derivar a camada mais interna:
- Derivada de
é
Isto é direto da regra da potência: o expoente
vem multiplicando e subtrai 1 do expoente.
Passo 5
Derivar a camada do meio usando a regra da cadeia aplicada a
:
- Aplicando
, obtemos
- Substituindo
e ,
Comentário rápido: a derivada da tangente fornece
avaliado na entrada (aqui
), e multiplicamos pela derivada interna
.
Passo 6
Derivar a camada externa usando a regra da cadeia para
:
- Pela fórmula
, temos
Passo 7
Substituir
e
na expressão da derivada:
Podemos reescrever de forma mais elegante agrupando os fatores:
Também é válido escrever
como
, caso prefira:
Passo 8
Dica rápida para a prova (motivação e lembrete): ao ver
, pense primeiro em derivar o “algo” com cadeia. Ao ver
, lembre que a derivada é
vezes a derivada interna. Se ficar nervoso, desenhe as camadas: interna → média → externa, e aplique cadeia passo a passo. Vai dar certo — você consegue!