Derive a seguinte função usando a Regra da Cadeia, possivelmente combinada com outras regras:
y=e^{\tan \left(x^{2}\right)}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pedido: calcular a derivada de y em relação a x, ou seja encontrar \dfrac{dy}{dx}, quando
y = e^{\tan\left(x^{2}\right)}.
  • Informação dada: a função é uma composição de funções exponencial, tangente e potência (ao quadrado). Não há outros dados numéricos.

Passo 2

Lembrando as regras que vamos usar (cada fórmula explicada):
  • Regra da cadeia (forma geral): para uma composição f(g(x)),
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).
Isto significa: derivar a função externa avaliando-a na função interna e multiplicar pela derivada da função interna.
  • Derivada da exponencial: para uma função u(x),
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Aqui u'(x) é a derivada da função no expoente.
  • Derivada da tangente: para uma função u(x),
\frac{d}{dx}\tan\big(u(x)\big)=\operatorname{sec}^{2}\big(u(x)\big)\cdot u'(x).
Lembre: \operatorname{sec}(t)=\dfrac{1}{\cos(t)}, então \operatorname{sec}^{2}(t)=\dfrac{1}{\cos^{2}(t)}.
  • Derivada de potência simples:
\frac{d}{dx}x^{2}=2x.

Passo 3

Identificar as “camadas” da composição (de dentro para fora):
  • Camada mais interna: v(x)=x^{2}.
  • Camada do meio: u(x)=\tan\big(v(x)\big)=\tan\big(x^{2}\big).
  • Camada externa: y(x)=e^{u(x)}=e^{\tan(x^{2})}.
Explicação do porquê: a função original é y=f(g(h(x))) com h(x)=x^{2}, g(t)=\tan(t), f(s)=e^{s}. A regra da cadeia vai aplicar-se sucessivamente.

Passo 4

Derivar a camada mais interna:
  • Derivada de v(x)=x^{2} é
v'(x)=\frac{d}{dx}x^{2}=2x.
Isto é direto da regra da potência: o expoente 2 vem multiplicando e subtrai 1 do expoente.

Passo 5

Derivar a camada do meio usando a regra da cadeia aplicada a u(x)=\tan\big(v(x)\big):
  • Aplicando \dfrac{d}{dx}\tan(v(x))=\operatorname{sec}^{2}(v(x))\cdot v'(x), obtemos
u'(x)=\operatorname{sec}^{2}\big(v(x)\big)\cdot v'(x).
  • Substituindo v(x)=x^{2} e v'(x)=2x,
u'(x)=\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big)\cdot 2x = 2x\,\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big).
Comentário rápido: a derivada da tangente fornece \operatorname{sec}^{2} avaliado na entrada (aqui x^{2}), e multiplicamos pela derivada interna 2x.

Passo 6

Derivar a camada externa usando a regra da cadeia para y(x)=e^{u(x)}:
  • Pela fórmula \dfrac{d}{dx}e^{u(x)}=e^{u(x)}\cdot u'(x), temos
\frac{dy}{dx}=e^{u(x)}\cdot u'(x).

Passo 7

Substituir u(x)=\tan\big(x^{2}\big) e u'(x)=2x\,\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big) na expressão da derivada:
\frac{dy}{dx}=e^{\tan\left(x^{2}\right)}\cdot\big(2x\,\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big)\big).
Podemos reescrever de forma mais elegante agrupando os fatores:
\frac{dy}{dx}=2x\,e^{\tan\left(x^{2}\right)}\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big).
Também é válido escrever \operatorname{sec}^{2}(x^{2}) como \dfrac{1}{\cos^{2}(x^{2})}, caso prefira:
\frac{dy}{dx}=2x\,e^{\tan\left(x^{2}\right)}\cdot\frac{1}{\cos^{2}\big(x^{2}\big)}.

Passo 8

Dica rápida para a prova (motivação e lembrete): ao ver e^{\text{algo}}, pense primeiro em derivar o “algo” com cadeia. Ao ver \tan(\text{algo}), lembre que a derivada é \operatorname{sec}^{2}(\text{algo}) vezes a derivada interna. Se ficar nervoso, desenhe as camadas: interna → média → externa, e aplique cadeia passo a passo. Vai dar certo — você consegue!

Resposta

\frac{dy}{dx}=2x\,e^{\tan\left(x^{2}\right)}\operatorname{sec}^{2}\big(x^{2}\big)

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