Encontre y^{\prime} por derivação implícita:
\tan (x / y)=x+y

Passo 1

O enunciado dá a relação implícita
\tan\!\left(\frac{x}{y}\right)=x+y,
onde y depende de x (ou seja, y=y(x)). A tarefa é encontrar a derivada y'=\dfrac{dy}{dx} por diferenciação implícita. Informações importantes que temos:
  • A variável independente é x.
  • A variável dependente é y (função de x), logo ao derivar surgirá y'.
  • A expressão dentro da tangente é \dfrac{x}{y}, o que envolve quociente entre x e y(x).
  • Preciso obter uma expressão algébrica para y' em termos de x e y.

Passo 2

Vou diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a x. Para a parte esquerda uso a regra da cadeia. Lembrete rápido da regra da cadeia: se uma função é composta f(g(x)), então
\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))\cdot g'(x).
No nosso caso f(u)=\tan u e u(x)=\dfrac{x}{y(x)}. A derivada de \tan u em relação a u é \operatorname{sec}^2 u. Assim a derivada do lado esquerdo é
\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot \frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{y}\right).
A derivada do lado direito \dfrac{d}{dx}(x+y) é
1+y'.

Passo 3

Agora calculo \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x}{y}\right). Uso a regra do quociente: se u(x)/v(x), então
\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui u(x)=x (logo u'=1) e v(x)=y(x) (logo v'=y'). Aplicando,
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x}{y}\right)=\frac{1\cdot y - x\cdot y'}{y^2}=\frac{y-xy'}{y^2}.

Passo 4

Substituindo esse resultado na derivada do lado esquerdo obtida pelo passo 2, a equação diferencial implícita após a diferenciação fica
\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right)\cdot\frac{y-xy'}{y^2}=1+y'.

Passo 5

Elimino o denominador multiplicando ambos os lados por y^2:
\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right)\bigl(y-xy'\bigr)=y^2(1+y').

Passo 6

Distribuo os termos em ambos os lados:
y\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right)-x y'\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right)=y^2 + y^2 y'.
Agora reúno todos os termos que contêm y' num lado e os demais no outro lado. Passo os termos com y' para a esquerda e os sem y' para a direita (ou vice‑versa). Por exemplo, somando x y'\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right) e subtraindo y^2 de ambos os lados:
- x y'\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right) - y^2 y' = y^2 - y\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right).

Passo 7

Fatoro y' no lado esquerdo:
y'\Bigl(-x\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right)-y^2\Bigr)=y^2 - y\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right).
Multiplicando numerador e denominador por -1 (para deixar o fator de y' positivo) obtenho
y'\Bigl(x\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right)+y^2\Bigr)=y\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right)-y^2.
Finalmente isolo y':
y'=\frac{y\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right)-y^2}{x\operatorname{sec}^2\!\left(\frac{x}{y}\right)+y^2}.

Passo 8

Pequeno comentário final: essa é a expressão para y' em termos de x e y. Note que implicitamente assumimos y\neq 0 (pois aparece no denominador de x/y e em y^2) e que \cos\!\left(\dfrac{x}{y}\right)\neq 0 (para que \operatorname{sec}^2 esteja definida). Força aí — deu trabalho, mas chegamos na expressão final!

Resposta

y'=\frac{y\operatorname{sec}^2\!\left(\dfrac{x}{y}\right)-y^2}{x\operatorname{sec}^2\!\left(\dfrac{x}{y}\right)+y^2}

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