Encontre
por derivação implícita:
Passo 1
O enunciado dá a relação implícita
onde
depende de
(ou seja,
). A tarefa é encontrar a derivada
por diferenciação implícita. Informações importantes que temos:
- A variável independente é
. - A variável dependente é
(função de ), logo ao derivar surgirá . - A expressão dentro da tangente é
, o que envolve quociente entre e . - Preciso obter uma expressão algébrica para
em termos de e .
Passo 2
Vou diferenciar ambos os lados da igualdade em relação a
. Para a parte esquerda uso a regra da cadeia. Lembrete rápido da regra da cadeia: se uma função é composta
, então
No nosso caso
e
. A derivada de
em relação a
é
. Assim a derivada do lado esquerdo é
A derivada do lado direito
é
Passo 3
Agora calculo
. Uso a regra do quociente: se
, então
Aqui
(logo
) e
(logo
). Aplicando,
Passo 4
Substituindo esse resultado na derivada do lado esquerdo obtida pelo passo 2, a equação diferencial implícita após a diferenciação fica
Passo 5
Elimino o denominador multiplicando ambos os lados por
:
Passo 6
Distribuo os termos em ambos os lados:
Agora reúno todos os termos que contêm
num lado e os demais no outro lado. Passo os termos com
para a esquerda e os sem
para a direita (ou vice‑versa). Por exemplo, somando
e subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Fatoro
no lado esquerdo:
Multiplicando numerador e denominador por
(para deixar o fator de
positivo) obtenho
Finalmente isolo
:
Passo 8
Pequeno comentário final: essa é a expressão para
em termos de
e
. Note que implicitamente assumimos
(pois aparece no denominador de
e em
) e que
(para que
esteja definida). Força aí — deu trabalho, mas chegamos na expressão final!