Calcule o comprimento da hélice circular definida por r(t)=(2 cos (t), 3 t, 2 sen(t)) do ponto A=(raiz3, pi2, 1) ao ponto B=(1,5 pi,-raiz3).

Passo 1

O enunciado dá a curva parametrizada
r(t)=l(2cos t,;3t,;2sin tr)
e pede o comprimento desde o ponto A=(raiz3,tfracpi2,1) até o ponto B=(1,5pi,-raiz3).
O conteúdo aqui é comprimento de curva em R^3, que se calcula por
L=integraltA^tBl|r'(t)r|,dt

Passo 2

Precisamos achar os valores tA e tB tais que r(tA)=A e r(tB)=B.
Para A:
2cos tA=raiz3, 3tA=pi2, 2sin tA=1
De 3tA=tfracpi2 vem tA=tfracpi6, e isso também satisfaz costfracpi6=tfracraiz32 e sintfracpi6=tfrac12.
Para B:
2cos tB=1, 3tB=5pi, 2sin tB=-raiz3
De 3tB=5pi vem tB=tfrac5pi3, e de fato costfrac5pi3=tfrac12, sintfrac5pi3=-tfracraiz32.

Passo 3

Calculamos a derivada
r'(t)=l(-2sin t,;3,;2cos tr)
e o seu módulo
l|r'(t)r| =raiz(-2sin t)^2+3^2+(2cos t)^2 =raiz4sin^2t+9+4cos^2t =raiz4+9 =raiz13
Note que o módulo é constante, o que simplifica muito o integral.

Passo 4

O comprimento é
L=integraltA^tBraiz13,dt =raiz13,l(tB-tAr) =raiz13,l(5pi3-pi6r) =raiz13,9pi6 =3piraiz132

Resposta

L=3piraiz132

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