Como podemos transformar uma integral dupla ou uma integral de superfície em uma integral de linha?
Passo 1
O enunciado pergunta como transformar uma integral dupla em uma integral de linha (caso do plano) e como transformar uma integral de superfície em uma integral de linha (caso geral em 3D). Vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente os Teoremas de Green e de Stokes.
Passo 2
No caso de uma integral dupla sobre uma região D no plano, usamos o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial
com derivadas contínuas em D, temos:
Ou seja, podemos converter uma integral dupla de uma expressão envolvendo derivadas parciais em uma integral de linha ao longo da fronteira
. As condições para aplicação são que D seja simplesmente conexa e que
sejam suficientemente suaves.
Passo 3
Para uma integral de superfície em
, usamos o Teorema de Stokes. Seja
uma superfície suave, orientada por uma normal unitária
, e
um campo vetorial com rotacional contínuo. O Teorema de Stokes afirma:
Ou seja, a integral de superfície do rotacional de
se converte em uma integral de linha de
ao longo da curva de contorno
. É preciso que
seja orientável e que
seja suave em um entorno de
.
Resposta
Usamos o Teorema de Green para transformar integrais duplas em integrais de linha no plano, e o Teorema de Stokes para converter integrais de superfície em integrais de linha em 3D.