Como podemos transformar uma integral dupla ou uma integral de superfície em uma integral de linha?

Passo 1

O enunciado pergunta como transformar uma integral dupla em uma integral de linha (caso do plano) e como transformar uma integral de superfície em uma integral de linha (caso geral em 3D). Vamos usar o conteúdo de cálculo vetorial, mais especificamente os Teoremas de Green e de Stokes.

Passo 2

No caso de uma integral dupla sobre uma região D no plano, usamos o Teorema de Green. Ele diz que, para um campo vetorial F=(P(x,y),Q(x,y)) com derivadas contínuas em D, temos:
integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA = ointpartial D P,dx + Q,dy
Ou seja, podemos converter uma integral dupla de uma expressão envolvendo derivadas parciais em uma integral de linha ao longo da fronteira partial D. As condições para aplicação são que D seja simplesmente conexa e que P,Q sejam suficientemente suaves.

Passo 3

Para uma integral de superfície em R^3, usamos o Teorema de Stokes. Seja S uma superfície suave, orientada por uma normal unitária n, e F=(F1,F2,F3) um campo vetorial com rotacional contínuo. O Teorema de Stokes afirma:
integral duplaS (nablatimes F)cdot n,dS = ointpartial S Fcdot d r
Ou seja, a integral de superfície do rotacional de F se converte em uma integral de linha de F ao longo da curva de contorno partial S. É preciso que S seja orientável e que F seja suave em um entorno de S.

Resposta

Usamos o Teorema de Green para transformar integrais duplas em integrais de linha no plano, e o Teorema de Stokes para converter integrais de superfície em integrais de linha em 3D.

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