Verifique a independência do caminho e, em caso de independência, integre de (0,0,0) até (a, b, c).
e^x cos 2 y d x-2 e^x sen 2 y d y-x z d z

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo de forças
F(x,y,z) = (P,Q,R) = (e^xcos2y,,-2e^xsin2y,,-xz)
é conservativo (independência do caminho) e, em caso afirmativo, calcular a integral de linha de (0,0,0) até (a,b,c). Vamos usar o critério de que em um domínio simplesmente conexo (como R^3) o campo é conservativo se e somente se o rotacional (curl) for zero.

Passo 2

Para um campo F=(P,Q,R), o rotacional é dado pelos componentes:
nablatimes F = l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,,partial Ppartial z-partial Rpartial x,,partial Qpartial x-partial Ppartial yr)
Se algum desses componentes for não-nulo, o campo não é conservativo.

Passo 3

Calculemos os parciais relevantes. Primeiro:
partial Ppartial y = partialpartial y(e^xcos2y) = -2e^xsin2y,
partial Qpartial x = partialpartial x(-2e^xsin2y) = -2e^xsin2y
Esses são iguais, então o terceiro componente do rotacional é zero.

Passo 4

Agora o segundo componente do rotacional. Temos:
partial Ppartial z = partialpartial z(e^xcos2y) = 0,
partial Rpartial x = partialpartial x(-xz) = -z
Como 0 neq -z em geral, esse componente do rotacional não é zero.

Passo 5

Da não anulidade de partial Ppartial z-partial Rpartial x, concluímos que o rotacional de F não é nulo. Logo, o campo não é conservativo e o trabalho depende do caminho escolhido, não havendo integral única de (0,0,0) até (a,b,c).

Resposta

O campo não é conservativo (rotacional não nulo), portanto o caminho não é independente e não há integral de linha única de (0,0,0) até (a,b,c).

Exercícios relacionados