Verifique a independência do caminho e, em caso de independência, integre de (0,0,0) até (a, b, c).
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo de forças
é conservativo (independência do caminho) e, em caso afirmativo, calcular a integral de linha de (0,0,0) até (a,b,c). Vamos usar o critério de que em um domínio simplesmente conexo (como
Passo 2
Para um campo
, o rotacional é dado pelos componentes:
Se algum desses componentes for não-nulo, o campo não é conservativo.
Passo 3
Calculemos os parciais relevantes. Primeiro:
Esses são iguais, então o terceiro componente do rotacional é zero.
Passo 4
Agora o segundo componente do rotacional. Temos:
Como
em geral, esse componente do rotacional não é zero.
Passo 5
Da não anulidade de
, concluímos que o rotacional de
não é nulo. Logo, o campo não é conservativo e o trabalho depende do caminho escolhido, não havendo integral única de (0,0,0) até (a,b,c).
Resposta
O campo não é conservativo (rotacional não nulo), portanto o caminho não é independente e não há integral de linha única de (0,0,0) até (a,b,c).