Derive as seguintes funções:
f(u)=sec (2 u)1+tg(2 u)

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente precisa derivar a função f(u)=sec(2u)1+tan(2u). O conteúdo envolvido é derivação de quociente, derivada de sec(x), derivada de tan(x) e regra da cadeia.

Passo 2

Vamos usar a regra do quociente: se f(u)=g(u)h(u), então
f'(u)=g'(u),h(u)-g(u),h'(u)[h(u)]^2

Passo 3

Identificamos
g(u)=sec(2u), h(u)=1+tan(2u)

Passo 4

Agora derivamos g(u). Sabemos que ddxsec(x)=sec(x)tan(x) e aplicamos regra da cadeia (onde x=2u):
g'(u)=2sec(2u)tan(2u)

Passo 5

Derivamos h(u). Como ddxtan(x)=sec^2(x) e novamente regra da cadeia:
h'(u)=2sec^2(2u)

Passo 6

Substituindo na regra do quociente:
f'(u)=2sec(2u)tan(2u),(1+tan(2u))-sec(2u),2sec^2(2u)(1+tan(2u))^2

Passo 7

Para simplificar o numerador, fatoramos 2sec(2u), ficando
2sec(2u)l[tan(2u)(1+tan(2u))-sec^2(2u)r]

Passo 8

Usamos a identidade sec^2(x)=1+tan^2(x) para simplificar o colchete:
tan(2u)(1+tan(2u))-(1+tan^2(2u))=tan(2u)+tan^2(2u)-1-tan^2(2u)=tan(2u)-1

Passo 9

Logo, a forma final simplificada é:
f'(u)=2sec(2u)l[tan(2u)-1r](1+tan(2u))^2

Resposta

f'(u)=2sec(2u)l[tan(2u)-1r](1+tan(2u))^2

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