Seja h(x)=f(x^2+x). Sabendo que f é derivável em 2 e que f^prime(2)=3, calcule h^prime(1).

Passo 1

Então, temos a função h(x) = f(x^2 + x). O objetivo é encontrar a derivada de h em x = 1, ou seja, h'(1). Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada composto, que faz parte do cálculo diferencial. Precisaremos saber como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual é a função composta aqui. Temos h(x) = f(u), onde u = x^2 + x. Para encontrar h'(x), precisamos derivar f(u) em relação a u e depois multiplicar pela derivada de u em relação a x.

Passo 3

A derivada de h(x), usando a regra da cadeia, fica:
h'(x) = f'(u) cdot u'
onde u = x^2 + x.

Passo 4

Vamos calcular u', que é a derivada de u = x^2 + x em relação a x:
u' = ddx(x^2 + x) = 2x + 1

Passo 5

Agora, precisamos avaliar f'(u) no ponto onde x = 1. Primeiro, encontramos u quando x = 1:
u = (1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2

Passo 6

Sabemos que f é derivável em 2 e que f'(2) = 3. Então, f'(u) = f'(2) = 3 quando x = 1.

Passo 7

Agora, substituímos os valores encontrados na expressão da derivada:
h'(1) = f'(2) cdot u' = 3 cdot (2 cdot 1 + 1) = 3 cdot 3 = 9

Resposta

Portanto, h'(1) = 9.

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