Uma empresa pretende comprar um equipamento de
120.000
9 %$ ao ano (a.a.), responda:
a. Calcular o valor total necessário a ser aplicado hoje para obter o valor necessário daqui a 5 anos, considerando a taxa de
a.a.
b. Em vez de realizar um depósito único, ela decide poupar um valor igual a cada ano, qual deve ser o valor do depósito anual?
a. Calcular o valor total necessário a ser aplicado hoje para obter o valor necessário daqui a 5 anos, considerando a taxa de
b. Em vez de realizar um depósito único, ela decide poupar um valor igual a cada ano, qual deve ser o valor do depósito anual?
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo, bem objetivo):
- Dado: o equipamento custará
daqui a 5 anos. - Dado: taxa de juros nominal anual
a.a. - Pergunta (a): qual o valor único que deve ser aplicado hoje para se obter
em 5 anos? - Pergunta (b): se, em vez do depósito único, a empresa fizer depósitos iguais uma vez por ano (um depósito por ano) ao final de cada ano, qual deve ser o valor do depósito anual para acumular
em 5 anos?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Valor futuro desejado:
. - Número de períodos:
anos. - Taxa por período (ano):
. - Para (b) assume-se depósitos anuais feitos ao final de cada ano (anuidade ordinária), salvo indicação em contrário.
Passo 2
Conceito e fórmula para o caso (a) — valor presente de um montante futuro.
- Ideia: um real hoje, aplicado a taxa
por anos, cresce para reais. Inversamente, para saber quanto vale hoje um valor futuro, dividimos pelo fator de acumulação . - Fórmula (explicada): se
é o valor futuro que se quer ter daqui a anos, então o valor presente que precisa ser aplicado hoje é
Aqui:
-
= valor a aplicar hoje (o que queremos encontrar); -
= valor desejado daqui a anos; -
= taxa anual; -
= número de anos.
Passo 3
Cálculo de
passo a passo (sem pular etapas):
- Primeiro calcule
. - Elevar a quinta potência fazendo multiplicações sucessivas:
- Agora aplicando a fórmula do passo anterior:
- Dividindo (mostrando o raciocínio): calcular o inverso de
dá aproximadamente . Multiplicando por :
- Interpretação: é preciso aplicar hoje cerca de
a ao ano para que em 5 anos isso vire .]
Passo 4
Conceito e fórmula para o caso (b) — depósitos anuais iguais (anuidade ordinária).
- Ideia: cada depósito anual cresce pelos anos restantes até o final do período; somando todas as acumulações obtém-se o
. Essa soma forma uma série geométrica que resulta na fórmula padrão de valor futuro de uma anuidade ordinária. - Fórmula (explicada): se
é o depósito feito ao final de cada ano (mesmo valor todos os anos), o valor futuro após anos é
Aqui:
-
(meta); -
= depósito anual que queremos encontrar; -
, . - Isolando
:
- Vamos calcular as peças numéricas:
- Já calculamos
. - Então
. - E
.
- Já calculamos
- Agora calcule o numerador e a divisão:
- Fazendo a divisão:
- Interpretação: depositando
ao final de cada um dos 5 anos, com juros de a.a., a soma acumulada será aproximadamente .
Passo 5
Pequena verificação (para dar segurança):
- Fator de acumulação da anuidade:
- Multiplicando
pelo fator:
o que confirma que o valor anual encontrado é consistente com a meta.