Uma empresa pretende comprar um equipamento de \ 120.000 daqui a 5 anos. Considerando uma taxa de9 %$ ao ano (a.a.), responda:
a. Calcular o valor total necessário a ser aplicado hoje para obter o valor necessário daqui a 5 anos, considerando a taxa de 9 \% a.a.
b. Em vez de realizar um depósito único, ela decide poupar um valor igual a cada ano, qual deve ser o valor do depósito anual?

Passo 1

O enunciado dá e pede o seguinte (resumindo, bem objetivo):
  • Dado: o equipamento custará \$ 120.000 daqui a 5 anos.
  • Dado: taxa de juros nominal anual i = 9\% a.a.
  • Pergunta (a): qual o valor único que deve ser aplicado hoje para se obter \$ 120.000 em 5 anos?
  • Pergunta (b): se, em vez do depósito único, a empresa fizer depósitos iguais uma vez por ano (um depósito por ano) ao final de cada ano, qual deve ser o valor do depósito anual para acumular \$ 120.000 em 5 anos?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Valor futuro desejado: \$ 120.000.
  • Número de períodos: n=5 anos.
  • Taxa por período (ano): i=9\%=0,09.
  • Para (b) assume-se depósitos anuais feitos ao final de cada ano (anuidade ordinária), salvo indicação em contrário.

Passo 2

Conceito e fórmula para o caso (a) — valor presente de um montante futuro.
  • Ideia: um real hoje, aplicado a taxa i por n anos, cresce para (1+i)^n reais. Inversamente, para saber quanto vale hoje um valor futuro, dividimos pelo fator de acumulação (1+i)^n.
  • Fórmula (explicada): se \text{FV} é o valor futuro que se quer ter daqui a n anos, então o valor presente \text{PV} que precisa ser aplicado hoje é
\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+i)^n}.
Aqui:
  • \text{PV} = valor a aplicar hoje (o que queremos encontrar);
  • \text{FV}=\$120.000 = valor desejado daqui a n anos;
  • i=0,09 = taxa anual;
  • n=5 = número de anos.

Passo 3

Cálculo de (1+i)^n passo a passo (sem pular etapas):
  • Primeiro calcule (1+i)=1{,}09.
  • Elevar a quinta potência fazendo multiplicações sucessivas:
\begin{aligned} 1{,}09^2 &= 1{,}09 \times 1{,}09 = 1{,}1881,\\[4pt] 1{,}09^3 &= 1{,}1881 \times 1{,}09 = 1{,}295029,\\[4pt] 1{,}09^4 &= 1{,}295029 \times 1{,}09 = 1{,}41158161,\\[4pt] 1{,}09^5 &= 1{,}41158161 \times 1{,}09 = 1{,}538623955. \end{aligned}
  • Agora aplicando a fórmula do passo anterior:
\text{PV}=\frac{120.000}{1{,}538623955}.
  • Dividindo (mostrando o raciocínio): calcular o inverso de 1{,}538623955 dá aproximadamente 0{,}649931387. Multiplicando por 120.000:
\text{PV}\approx 120.000 \times 0{,}649931387 \approx 77.991,77.
  • Interpretação: é preciso aplicar hoje cerca de \$77.991,77 a 9\% ao ano para que em 5 anos isso vire \$120.000.]

Passo 4

Conceito e fórmula para o caso (b) — depósitos anuais iguais (anuidade ordinária).
  • Ideia: cada depósito anual cresce pelos anos restantes até o final do período; somando todas as acumulações obtém-se o \text{FV}. Essa soma forma uma série geométrica que resulta na fórmula padrão de valor futuro de uma anuidade ordinária.
  • Fórmula (explicada): se R é o depósito feito ao final de cada ano (mesmo valor todos os anos), o valor futuro após n anos é
\text{FV}=R\cdot\frac{(1+i)^n-1}{i}.
Aqui:
  • \text{FV}=\$120.000 (meta);
  • R = depósito anual que queremos encontrar;
  • i=0{,}09, n=5.
  • Isolando R:
R=\text{FV}\cdot\frac{i}{(1+i)^n-1}.
  • Vamos calcular as peças numéricas:
    • Já calculamos (1+i)^n=1{,}538623955.
    • Então (1+i)^n-1=0{,}538623955.
    • E i=0{,}09.
  • Agora calcule o numerador e a divisão:
R=120.000\cdot\frac{0{,}09}{0{,}538623955}=\frac{10.800}{0{,}538623955}.
  • Fazendo a divisão:
R\approx 20.044,77.
  • Interpretação: depositando R\approx\$20.044,77 ao final de cada um dos 5 anos, com juros de 9\% a.a., a soma acumulada será aproximadamente \$120.000.

Passo 5

Pequena verificação (para dar segurança):
  • Fator de acumulação da anuidade:
\frac{(1+i)^n-1}{i}=\frac{0{,}538623955}{0{,}09}\approx 5{,}984710611.
  • Multiplicando R pelo fator:
20.044,77\times 5{,}984710611 \approx 120.000,
o que confirma que o valor anual encontrado é consistente com a meta.

Resposta

\$77.991,77
\$20.044,77

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