Derive as seguintes funções:
f(x)=1+Sen(x)x+Cos(x)

Passo 1

A questão pede a derivada da função f(x)=1+sin(x)x+cos(x). Vamos usar derivadas de sin e cos e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos o numerador e denomindor separadamente: u(x)=1+sin(x), v(x)=x+cos(x)Calculamos as derivadas:
u'(x)=cos(x), v'(x)=1-sin(x)

Passo 3

Usamos a regra do quociente: f'(x)=u'(x)v(x)-u(x)v'(x)[v(x)]^2Substituindo, obtemos:
f'(x)=cos(x),(x+cos(x))-(1+sin(x))(1-sin(x))(x+cos(x))^2

Passo 4

Agora simplificamos o numerador. Primeiro note que:
$$(1+\sin(x))(1-\sin(x))=1-\sin2(x)=\cos2(x).
$$Então
$$\cos(x)(x+\cos(x))-\cos2(x)=x\cos(x)+\cos2(x)-\cos^2(x)=x\cos(x).
$$Logo a derivada fica
$$f’(x)=\frac{x\cos(x)}{(x+\cos(x))^2}.
$$

Resposta

f'(x)=dfracxcos(x)(x+cos(x))^2

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