Derive as seguintes funções:
Passo 1
A questão pede a derivada da função
. Vamos usar derivadas de
e
e a regra do quociente.
Passo 2
Definimos o numerador e denomindor separadamente:
Calculamos as derivadas:
Passo 3
Usamos a regra do quociente:
Substituindo, obtemos:
Passo 4
Agora simplificamos o numerador. Primeiro note que:
$$(1+\sin(x))(1-\sin(x))=1-\sin2(x)=\cos2(x).
$$Então
$$\cos(x)(x+\cos(x))-\cos2(x)=x\cos(x)+\cos2(x)-\cos^2(x)=x\cos(x).
$$Logo a derivada fica
$$f’(x)=\frac{x\cos(x)}{(x+\cos(x))^2}.
$$