Se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^x+c2e^2x, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada.
phi(x) = 132x^2-388x+1077

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes cuja solução geral da homogênea é dada por yh = c1 e^x + c2 e^2x. O conteúdo aqui é o método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular yp de L(y)=phi(x), onde phi(x)=132x^2-388x+1077.
As raízes da equação característica associada à homogênea são r=1 e r=2, logo o operador diferencial pode ser escrito como L(y)=y''-3y'+2y.

Passo 2

Pelo método dos coeficientes a determinar, como phi(x) é um polinômio de grau 2 e nenhuma de suas potências coincide com as soluções da homogênea (que são exponenciais), propomos um ansatz também polinomial de grau 2:
Não há conflito entre o polinômio proposto e as soluções homogêneas, então mantemos o grau 2 sem multiplicar por x. Portanto, a forma de uma solução particular é

Resposta

y_p(x)=Ax^2+Bx+C

Exercícios relacionados