Se a solução da equação homogênea associada L(y)=0 for yh=c1e^x+c2e^2x, determine a forma de uma solução particular de L(y)=phi(x) para phi(x) dada.
phi(x) = 0.5e^-2x

Passo 1

Na questão temos uma EDO linear de 2ª ordem com coeficientes constantes, cuja solução homogênea é yh = c1 e^x + c2 e^2x; vamos usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular para phi(x)=0.5e^-2x.

Passo 2

Observamos que phi(x) é um exponencial e^-2x e que -2 não é raiz da equação característica associada (r-1)(r-2)=0. Então supomos uma solução particular da forma yp = A e^-2x, com A constante a determinar.

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
y'p = -2A e^-2x, y''p = 4A e^-2x
Isso é necessário para substituir na equação diferencial.

Passo 4

Substituímos na EDO y'' -3y' +2y = phi(x). Temos:
L(yp) = 4A e^-2x -3(-2A e^-2x) +2(A e^-2x) = (4A +6A +2A)e^-2x = 12A e^-2x
Igualando a 0.5e^-2x, obtemos 12A e^-2x = 0.5e^-2x, logo A = 0.512 = 124.

Resposta

yp = 124e^-2x

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